Gesammtsitzung vom 2. April 1903. 



von Null verschieden ist. (r — 6)" ein Elementarteiler von \rE-B\. 

 Allgemeiner hat Hr. Bkomwich in einer Arbeit Theorems on Matrices 

 (iihI Bilinear Forms, Proc. of the Cambridge Phil. Söc". vol. XI. Pt. I. 



-vzcigt: Ist/'(a) = ••• =/< ä - I >(a) = 0. alier /' ( -'(o) von Null verschie- 

 den, so entsprechen dem Elementarteiler (r-a)" von (rE—A), falls 



j. ist, et lineare Elementarteiler r—b von \rE—B\. Ist aber 

 ä>/8, so sei x der Quotient und A(</3) der Rest der Division von 

 a. = xß + X durch /3. Dann entsprechen dem Elementarteiler (r — a) a 

 ,3 Elementarteiler, deren Exponenten möglichst gleich sind, also ,o-Ä 

 Elementarteiler (/• — &)" und A Elementarteiler (r — 6)* +1 . 



Dieser Satz war mir seit langer Zeit bekannt. Auch Hr. P. Muth 

 hat ihn selbständig gefunden und mir vor einigen Jahren den Beweis 

 mitgeteilt. Es wäre nützlich, den analoge]) Satz für eine Funktion 

 f(A,B,C,---) von mehreren Matrizen aufzustellen, von denen je 

 zwei vertauschbar sind. 



§ 5- 



Die Funktion s* en Grades (8.) § i 



g{ti,x) = IT $(us — x) 

 isl ein Produkt von k verschiedenen ganzen Funktionen der Variabein 

 u von den Graden /. /'. • • • . deren Koeffizienten ganze Funktionen der 

 h unabhängigen Variabein x P , Xq , x B , ■ ■ ■ sind. Jede einzelne jener 

 />• Funktionen von u ist irreduzibel, die s = 2/ Wurzeln u 1 ,u 2 . ■■ ■ u 

 der Gleichung g(u, x) = sind daher alle unter einander verschieden. 

 Die Gruppenmatrix X = (.r y ,,,_) genügt der Gleichung g(X,x) = 0. 

 Da u l ,u 2 --- u s verschieden sind, so sind die Elementarteiler der Deter- 

 minante \uE— X\ alle linear. 



Die Gleichung g(X, x) = ist eine in den /(Variabein x P , ,r,,. x R , 

 identische Gleichung. Sie wird also auch durch jedes spezielle Wert- 

 system derselben erfüllt. Für ein solches brauchen die Elementar- 

 teiler von |«i£— A^| nicht sämmtlich linear zu sein. Wird aber x so 

 gewählt, dass u l} n... ■■■ u„ alle verschieden sind, so sind sie stets alle 

 linear (vergl. § 3). 



Nun besagen die Gleichungen 16.1 § 1. dass die Matrix I = (y Pl ,- l ) 

 mit X vertauschbar ist. Daher ist die Determinante 



(i.l | uX+ vY+ wE\ = TT ($(«# + vy+ «?))' 



ein Produkt von linearen Fakturen uu a + vv a + w, wo u a und v a zuge- 

 ordnete charakteristische Wurzeln der beiden vertauschbaren Matrizen 

 X und 1' sind. Mithin ist auch 



(2.1 -r '-'// + W) = JI ' ( UU a + VV, 



ein Produkl Linearer Funktionen von u.v.w. 



