Frobeniüs: Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. II. 40 < 



Setzt man v = oder u 0, so erkennt man, dass den /charak- 

 teristischen Wurzeln u 1 ,u 2 ,---u J von $(#) die /Wurzeln r, . c, . ■ ■■ r, 

 von *(,y) in einer bestimmten Reihenfolge zugeordnet sind, und folglich 

 den *■ Wurzeln von g(u,x) = die s Wurzeln von g{v , y) = 0. Da 

 ferner u lt u 3 ,---u, verschieden sind, so zeigen die Formeln (i.) und 

 (2.), dass je zwei gleichen Wurzeln u K = u x von Im^-XI = gleiche 

 Wurzeln v x = i\ von \vJE— Y\ = zugeordnet sind. 



Ist / eine Constante, so sind v 1 — lu 1 , ■■ ■ i\- (u die s Wurzeln 

 der Gleichung g(w,y — lx) = 0. Ist / nicht gleich einem der Brüche 



v a — v^ 



. so sind jene * Wurzeln alle verschieden. Da nun Z=Y—IX 



der Gleichung g(Z,y — lx) = genügt, so sind die Elementarteiler 



von \wE-Z\ alle linear und mithin nach Satz II. da Y= IX +Z ist, 

 auch die von |üi?-F|. Nach Satz III ist folglich Y eine ganze Funktion 

 von X. 



Damit ist bewiesen, dass die s Grössensysteme 



///.* 4° (n = Ö,l,. s-1) 



ein vollständiges System unabhängiger Lösungen der linearen Glei- 

 chungen (6.) § i bilden. Folglich hat die Matrix ihrer Koeffizienten 



(3-) i- v i'ii~i ~ x Q-ip) 



den Rang h-s. 



Nun ist aber die Gruppenmatrix {x P q-i) mit der antistrophen Grup- 

 penmatrix {Xq- ip ) vertauschbar, und die charakteristischen Determinanten 

 beider haben lauter lineare Elementarteiler. Nach Satz II. gilt daher 

 dasselbe A r on der Matrix (3.), und speziell von den für w = verschwin- 

 denden Elementarteilern ihrer charakteristischen Determinante (4.) §1. 

 Da nun diese den Faktor io r hat. so ist der Rang der Matrix (3.) gleich 

 h-r. Folglich ist r = s, e + e + ••• =/+/'+ ■■■. Nun ist aber e 

 durch/ teilbar, also e >/./>/", ■■■ . Daher ist allgemein e = /. 



§6. 



In der Arbeit über Systeme höherer complexer Zahlen, Math. Ann. 

 Bd. 41. beweist Hr. Molien durch eine Reihe der scharfsinnigsten Be- 

 trachlungen den Satz: 



29. Die Anzahl der Grundzahlen eines ursprünglichen Zahlensystems 

 ■ist gleich dem Quadrat des Grades der Ranggleichung. 



Der Satz e = / ist eine unmittelbare Folge dieses Ergebnisses, 

 wie Hr. Molien in zwei Arbeiten Eine Bemerkung zur Theorie der homo- 

 genen Substitutionsgruppen und Über die Anzahl der Variabein einer irre- 

 ductibelt n Substitutionsgruppe, Sitzungsberichte der Naturforschergesell- 



