108 Gesammtsitzung vom 2. April 1903. 



schaft zu Dorpat 1897. näher ausführt. Die Hülfssätze, die ihn zu 

 jenem Ergebnis führen, haben mit den obigen Betrachtungen einige 

 Berührungspunkte. Die der Gleichung (4.) §1 analoge Gleichung 



(1.) - («*/-««)«j-*.-*p| = 



nennt er die KiLLixG*sche Gleichung des Zahlensystems (Mol. i 5 (2.)). 

 und er beweist den Satz: 



19. Wird ein Zahlensystem durch eine Form mit Polareigenschaft er- 

 zeugt, so besitzt seine KiLLwa'sche Gleichung ebenso viele verschwindende 

 Wurzel^ als es ///war unabhängige^ mit rinn* allgemein gewühlten Zahl des 

 Systems vertauschbare Zahlen giebt. 



Anders ausgedrückt: Die für p = verschwindenden Elementar- 

 teiler der Determinante (1.) sind alle linear, vorausgesetzt, dass die 

 Determinante 



\g a \ (», A = 1.2, ■••») 



einer gewissen quadratischen Form 

 (2.) - 9ik x i*k 



von Null verschieden ist. Der Beweis aber, den Hr. Molien für diesen 

 Satz gibt, ist nicht zureichend. Nachdem er über die letzten n — r 

 Variabein der Form (2.) verfügt hat, behauptet er, man könne die 

 ersten r durch Vermehrung um lineare Verbindungen der letzten n - r 

 so abändern, dass die Form (2.) in die zwei Formen 



■*] 9ik X i X k + — <r+l 9jh X j X h 



zerfällt, von denen die erste nur von ,i\.---x r , die andere nur von 

 x r+l ,---x„ abhängt. Dies ist aber nur möglich, wenn die Determi- 

 nante r ,e " Grades 



(3-) D = \g ik \ (<,* = 1,2, -r) 



für die Form (2.) von Null verschieden ist, was Hr. Molien jedoch 

 nicht beweist. Dass aber gerade hierin der Kernpunkt der ganzen 

 Deduktion steckt, zeigt das von Hrn. Stickelbekger aufgestellte, für das 

 Auftreten linearer Elementarteiler entscheidende Kriterium (Muth, Ele- 

 mentartheikr, Satz 39. § 15): 



Ist f(x,y) + sg{x,y) eine Schaar bilinearer Formen der Variabein 

 ■'1 • ■ • ' - r „ ^ V\-> '•• !/„j un d besitzt jedes der beiden Systeme von je n linearen 

 Gleichungen 



3/ , 3/ 



= und • = (a—1,2. ■■■>,) 



/.• von einander unabhängige Lösungen 



xl*\ ■ und //."". • -• //' *' (x = l,2, •••*), 



