Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. 505 



lieh in meiner Arbeil über vertauschbare Matrizen, Sitzungsberichte 1896, 

 entwickelt habe, von neuem ;iufzunehmen. 



Die Methoden von L11: werden in dieser rein algebraischen Arbeit 

 gar nicht benutzt. Dagegen hat meine Darstellung- manche Berührungs- 

 punkte mit der von Dedekind in seiner Abhandlung Zur Theorie der 

 uns n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen, Göttinger Nachrichten 

 1S85 (im folgenden Dei>. zitiert). 



Die Grundlage meiner Untersuchung bildet die Formel (2) § 5. 

 Mit ihrer Hülfe zeige ich in § 6 direkt, daß die in den verschiede- 

 nen Primfaktoren der Gruppendeterminante auftretenden Variabein alle 

 von einander unabhängig sind, und umgehe dadurch die Sätze 3, 4 

 und 5 von Molikn sowie den Beweis des Satzes 25. Und mit der- 

 selben Formel beweise ich in § 7. daß die Elementarteiler der Deter- 

 minante einer einlachen Gruppe alle linear sind. Auf diesen beiden 

 Ergebnissen aber beruht die ganze Entwicklung. 



Zur Klassifikation der Gruppen, wozu bisher nur unzureichende 

 Ansätze gemacht sind, erweisen sich als die geeignetsten Invarianten 

 weniger die Exponenten und Grade der PTementarteiler, worin die 

 Determinanten der beiden antistrophen Gruppen zerfallen, als vielmehr 

 (^ 9) die nämlichen Zahlen für die bisher kaum beachtete parastrophe 

 Matrix iü(£), insbesondere der Rang von iü(cr); bei nicht kommuta- 

 tiven Gruppen aber vor allem die elementaren Invarianten der Matrix 

 uR(£) + vR'(£) und der von 2 n Variabein abhängenden Matrizen 

 S(x) + T(y) und R{^) + R'{yi), und zwar sind diese Invarianten auch 

 dann von Bedeutung, wenn etwa die Determinante von R(%) oder von 

 R(%) + R' (*i) identisch verschwindet. 



Erst nach Vollendung dieser Untersuchung bin ich auf die aus- 

 gezeichnete Abhandlung des Hrn. Cartan, Sur les groupes bilineaires 

 et les systemes de nombres complexen, Ann. de Toulouse, tome XII. 

 1898, aufmerksam geworden, worin er die Resultate von Molien 

 ableitet, ohne, wie es scheint, seine Arbeit zu kennen. Mit dessen 

 Methoden und mit den hier benutzten hat der von Hrn. Cartan ein- 

 geschlagene Weg nicht das geringste gemeinsam. Die Transforma- 

 tion der Basis, der Ausgangspunkt und das Endziel seiner Untersu- 

 chung, ist von mir so lange wie irgend möglich vermieden worden 

 (§ 9). Die von jeder Darstellung der Gruppe unabhängigen, invarianten 

 Eigenschaften, mit denen ich beginne, ergeben sich bei ihm erst am 

 Schluß durch Deutung einer Normalform der Gruppe, erhalten durch 

 eine lange Reihe von Umformungen, deren Ziel erst am Ende der 

 Entwicklung klar wird. Der Unterschied zwischen den beiden Me- 

 thoden ist also derselbe, wie der zwischen dem Verfahren von Weier- 

 strass und dem von Kronecker in der Theorie der Scharen von bi- 



