Frobenius: Theorie der liypercomplexeu Grössen. ;ill/ 



so ist demnach die trilineare Form 



(7 .) F(g,y,*) = S%(«)y s i Xs^{y)% a z y - '. .<->£..y. 5 - 



Die ;ms jenen drei Systemen linearer Funktionen gebildeten Ma- 

 trizen ra* 6 " Grades bezeichne ich mit 



Ä(g) = Ä« = (r rf (6)) , S(y) = fiv = My)) ■ r(*) = r. = (tß(*)). 



Unter /(.r) verstehe ich stets eine Funktion der Koordinaten 

 ,i\ . ,r, . ■ • • .c„ der Größe x, unter S(x) oder S, eine Matrix, deren Ele- 

 mente (lineare) Funktionen dieser Koordinaten sind. Wenn es sieli 

 um eine Funktion der hyperkomplexen Größe x seihst handelt, werde 

 ich mich des Zeichens /((#)) bedienen. 



Die Bedingungen (3.) des assoziativen Prinzips sind bequemer 

 zu erörtern, wenn man sie dadurch zusammenfaßt, daß man sie mit 

 Variabein multipliziert und addiert. So erhält man. wenn x uu<\ y 

 zwei beliebige Größen sind (Ded. (36.)), 



(8.) X s aX (s) t#{y) = X U(y)s, ß (x) 



oder einfacher 



(9-) $,T,= T,S., 



und 



(10.) ^ ■/■„, ( S ) s»ja («) = X M«) ^s ( § ) 



oder 



(11.) k \ = r,i< z . 



wo 7" die zu T konjugierte Matrix ist. 



Ich nenne S(x) und | S(x) | die Gruppenmatrix und die Gruppen- 

 determinante, T(x) und |!T(;i')| die antistrophe Gruppenmatrix und Gruppen- 

 determinante, R(^) und |i?(£)| die parasirophe Matrix und Determinante. 

 Der in der Formel (9.) enthaltene Satz läßt sieh in folgender Art aus- 

 sprechen und umkehren: 



Die Gruppenmatrix S(x) ist mit der antistrophen Matrix T(y) ver- 

 tauschbar. Verschwindet du parastrophe Determinantt nicht identisch, so 

 läßt sich jede von x unabhängige Ma/ri.r. die für jeden Wert von x mit 

 S(x) (T{.r)) vertauschbar /.<, auf dir Form T(y) (S(y)) bringen. 



Denn sei der Parameter | so gewählt, daß die Determinante 

 der Matrix R(£) = R = (r cli ) nicht verschwindet, und sei U — («„,) 

 irgend eine von x unabhängige Matrix «'"" Grades, die für jedes x 

 mit S{x) vertauschbar ist. Dann kann man y so bestimmen, daß für 

 X = 1 , 2 , • • ■ n 



^ f- x u KX = Xnnyz = - UAy) 



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