Frobenius: Theorie der hypercoinplexen ürössen. 509 



Isl ,s |.r| - .r, A', -| .r, /':,,+ ••■+ x„E„, SO isl folglich 

 (3-) ^E y = 2^^ , 



und da nur dann S(x) = ist, wenn .»• = ist, so sind die n kon- 

 stanten Matrizen Z£, , A' , . • ■• /','„ linear unabhängig. Sic bilden mithin 

 eine Darstellung (vergl. ^ 16) der Gruppe (e), und aus dieser folgt, daß 

 die Voraussetzung der Unabhängigkeit der Grundzahlen mil den qua- 

 dratischen Gleichungen (2.) § 1 verträglich ist, deren Koeffizienten den 

 Gleichungen (3.) $ 1 und den Ungleichheiten (1.) § 3 genügen, oder daß 

 aus diesen Bedingungen keine linearen Beziehungen zwischen den Grund- 

 zahlen Hießen. Krst auf Grund dieser Gewißheit sind Beweise zulässig, 

 wie der an Formel (3.) § 3 anknüpfende, worin die hyperkomplexen 

 Größen selbst benutzt werden. 



Ist ferner T(x) = ,i\ /•', + x.,F.. + ■ ■ ■ + x n F n , so ist 



(4.) /'';/•; - Xa ayß F a . 



Da für Matrizen das assoziative Gesetz gilt, so bilden /•', . /•',,.■• ■ F„ 

 die Basis einer Gruppe, der antistrophen Gruppe (s). Eine andere 

 Darstellung von (e) liefert die zu T konjugierte Matrix T. Man könnte 

 daher auch T als die Matrix der Gruppe (e) und <S" als die der anti- 

 strophen Gruppe (V) bezeichnen. 



Ist £ ein Parameter, und setzt man 



(5*-) Z* = % a»>* $»>/>. =Xr^(%)y k =:% s„ u (y) §„ , 



x . /. X x 



so wird 



'• -(,1 - "„. l :.< ---- - =„>»... (,'/)"„«: - 



Dies ist der Koeffizient von --; in 



IcuU: = X^s w {y)t lia {z) X£, H t m {z)s^j) - .^ (// )r,..UL.. 



Daher ist 



(5-1 '«/*(?) ■ i >.....(//) r.,M) 



oder 



(5-) R(C) = S'(y).R(g). 



Setzt man endlieh 



(6*.) ij = i. n Htu Z.s ß = X r k „(S ) z H = i t„, U~) fc, , 



so wird 



l«3(lj) : £ OxoßlJ» = - £, /„-. (*)a . 



?. x,X 



und daher 



-'■^O.'/.: - XU (*)«w(y) = 2 6.My)fea(*) = 2r Ä (5)4 Ä (*)y„, 



.< x,X x,X 



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