Frobenius: Theorie <1<t hypercomplexen Grössen. •> I 1 



also 



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und mit hin «„ . /.(//). 



Ist |N(.ri| für eine bestimmte Größe x von Null verschieden, so 

 kann man // so bestimmen, daß xy <■ wird. Dann isl nach (2.) 5; 2 

 T(y)T{x) -- 'l'(r) A'. [st also |.S'(.c)| für den Werl x von Null ver- 

 schieden, so ist auch | V'(.r) | von Null verschieden und umgekehrt. Ist 

 also | -S(.i-) | ■ : (i. so isl auch | T{x) \ = 0. Jeder Primfaktor >\>\.n der 

 Gruppendeterminante |S(#)| ist daher auch in der antistrophen Deter- 

 minante | '/'(.<') | enthalten und umgekehrt. In den beiden Zerlegungen 



(2.) |S(*)| = n*(*)', |r(*)| = n*(*y 



treten genau dieselben Primfaktoren #(#) auf, doch können die Exponen- 

 ten Sund / verschieden sein, aber nur. wenn identisch |A'(£)| ist. 

 Das einfachste Beispiel für diese Möglichkeit liefert, wie mir Moli] \ 

 mitgeteilt hat, die einzige nichl kommutative Gruppe der Ordnung n 3, 

 für die 



r, = //., Z % X 3 = 1/ l ~ 3 + I/3 Z-z 



y, \ / ~, 



S(y) I u //, 11 . •/'(-) 11 ?, 



//, //, / \ .-,. 



also, in Elementarteiler zerlegt, 



|S(*)| = *,*!*», \T(«)\ = m l x t * t , \»ltC=) + r/{'('-)\ = _ ( e i + s 3): ;„,-i» v) 



Aus der Gleichung 12.) £ 2 folgt durch wiederholte Anwendung 



S; = S(*"). T " = T(x"). 



Unter u, r. ir verstehe ich hier stets gewöhnliche (nicht hyperkom- 

 plexe) Größen. Ist g{u) eine ganze Funktion der Variabein u, also 

 //((.r|) eine ganze Funktion der hyperkomplexen Größe x selbst, so 

 isl mithin 



(3-) 9(&) S(y ((*))). 9 {T.) =T(g ((«))). 



Wenn demnach einer der Ausdrücke //((•>')), //(^'j oder ,'/(7'j für alle 

 Werte von X verschwindet, so verschwinden auch die beiden anderen 

 (Mol. §4). Die Gleichung niedrigsten Grades, der eine Matrix S X = S 

 genügt, .7 ('S) = 0, wird ihre reduzierte Gleichung genannt. Die Funk- 

 tion g(u) erhält man, indem man die charakteristische Determinante von 

 S, die Determinante der Matrix 



(4.) »E -S{x) S{ue ■-•). 



