5 1 _ Sitzung der phys.-math. Classe v. 30. April 1903. ■ — Mittheilung v. 16. April. 



durch den größten gemeinsamen Teiler ihrer Unterdeterminanten (n — l) teu 

 Grades dividiert. Nach (3.) genügen S und T derselben reduzierten 

 Gleichung g(S) = und g(T) = 0, und diese ist zugleich die Glei- 

 chung niedrigsten Grades, der eine variable Größe x genügt, //((**')) = 0. 

 Wenn also auch die Determinanten der beiden antistrophen Gruppen 

 verschieden sein können, so stimmen doch ihre ersten Elementarteiler 

 immer überein. 



Die reduzierte Funktion g(u) verschwindet für jede der cha- 

 rakteristischen Wurzeln von S, d. h. der Wurzeln der charakteristischen 

 Gleichung \uJS— <S| = 0. Damit ist auf's neue bewiesen, daß die beiden 

 antistrophen Gruppendeterminanten genau dieselben Primfaktoren ent- 

 halten. 



Ist ®(x) = \S(x)\ die Gruppendeterminante, so ist nach (2.) § 2 

 ®(yz) — ®{y)®(z). In jedem Primfaktor $(x) von @(x) denke ich 

 mir den konstanten Faktor so gewählt, daß *(e) = l ist. Ist dann 

 <1> (x) ein solcher Faktor oder auch ein Produkt von mehreren, so ist auch 



(I.) *(y*) = *(y)*(*). 



Umgekehrt muß jede homogene Funktion *(#), welche diese Eigen- 

 schaft besitzt, ein Produkt von Primfaktoren von ®(x) sein (Gr. § 1). 

 Denn bestimmt man y so. daß xy = &(x)e wird, so werden y, . y 2 , ■ • y n 

 aus n linearen Gleichungen mit der Determinante ®(x) gefunden, und 

 sind dalier ganze Funktionen von x l , x i} ■■■ x n . Ist r der Grad von 

 $(x) . so ist dann nach ( 1 .) 



*(*)*(y) = »(*)-■ 



Die Wurzeln u,. v... ■■u r der Gleichung ${ne x) = nenne ich 

 die charakteristischen Wurzeln von ( l>(.r). Dann ist 



12.) $(ue-x) = u r -*!(*) M'- 1 + +.,(•'')"' -°- ±*M- r ) = («-«,)(« -w 2 ) ■• ■ (11-11, 



Die Summe der r Wurzeln. «I> , ( .*- ) oder 



(3-) W 'l + "2 + ■■■ +H r = X{V) = X X« •''.- « 



nenne ich die Spw von $(#). Durch das System ihrer n Koeffizienten. 

 das ich ebenfalls mit % bezeichne und den für *(#) charakteristischen 

 Parameter nenne, ist die Funktion $(x) vollständig bestimmt (Mol. ^3: 

 Gr. 5j 3). Denn ist 



g(n) = a(u + v 1 )(u + v.,) ■■■(>, + u n ) 



eine ganze Funktion von u, so ist auch 



V = 9{{ x )) = <*{*+ '•>')(•'•+ o»e) ■■■ {.<■ + v m e) 



