514 Sitzung der phys.-math. Hasse v. 30. April 1903. — Mittheüung v. 16. April. 



Eine Größe x heißt eine invariante Größe der Gruppe (e), wenn 

 sie mit jeder Größe y dieser Gruppe vertauschbar ist, xy — yx. Dem- 

 liacli ist 



2 a a&y x y = 2 a ay ßX y oder t a ß(x) = s a ß(x) . 



Wird umgekehrt die Veränderlichkeit von x durch die Gleichung 

 S{x) = V'(.i') beschi"änkt, so ist X eine invariante Größe von (e). 

 Auch die allgemeinere Gleichung S(x) = T(y) oder 



.c, l-\ + • • • + .>•„ £'„ = y, F x + • • • + .y„ F, 



kann nach (14.) ;? 1 nur bestehen, wenn x = y eine invariante Größe 

 ist. Die von den invarianten Größen gebildete Gruppe ist also der 

 größte gemeinsame Divisor der beiden antistrophen Gruppen (3.) und 



(4-) § 2'. 



Ist y unbeschränkt veränderlich, x aber eine invariante Variable. 

 so ist S(x) = T(x) mit S(y) vertauschbar, und daher lassen sich die 

 charakteristischen Wurzeln u l ,ii i , ■■ ■ der Matrix S(x) den charakteristi- 

 schen Wurzeln t\ . i\ , • • • der Matrix S(y) so zuordnen , daß v t r x . u 2 v 2 ■ • • 

 die charakteristischen Wurzeln von S(x)S(y) = S(xy) sind. Mithin 

 ist auch 



* (we — xy) = (11 — u y •(',) ( 11 ■ — «ü ''2) •'• (" — '*,'',), 



wo M, , M 2 , -• • u,. nur von a; abhängen, i\ , v 2 , ■ ■ ■ r r nur von y. Setzt man 

 y = e, so erkennt man, daß u t , u,. ■■■ n, die charakteristischen Wurzeln 

 von <l>(.r) sind, setzt man x = e, daß o,,c 2 ,"-o, die von *(.'/) sind. 



Bei der Bestimmung der Art, wie diese Wurzeln in der obigen 

 Zerlegung einander zugeordnet sind, beschränke ich mich auf den 

 Fall, wo <i>(y) eine Primfunktion ist. Dann ist $(ue — y) als Funktion 

 von u irreduzibel, d. h. kann nicht als Produkt ganzer Funktionen 

 von 11 dargestellt werden, deren Koeffizienten rationale Funktionen 

 der n unbeschränkt veränderlichen Größen y 1} y a , ••■ y„ sind. Da w, 

 von diesen unabhängig ist, so ist die Funktion *(««— u x y) der Va- 

 riabein u in demselben Sinne irreduzibel. Die Funktion $(ue — xy) 

 hat mit ihr den Faktor u— u l v 1 gemeinsam, und ist folglich mit ihr 

 identisch $(ue — xy) = ^(ue-u^y). Mithin ist yj.ry) = u l %{y), also 

 für y = e %{x) = ru v Setzt man u = 0, y = e, so wird *(.»■) = u[. 

 So ergibl sieh der Satz {Gr. §6): 



Ist /j.r) die Spur des Primfaktors /•'" Grades <l>{x) der Grvppen- 

 1/1 tt riiiiiiaiili , ist y eine unbeschränkt veränderlic/u . .r ahn- rinr inniriuiih 

 Größi . so ist 



1.1 x(*)x(y) = »"x(«y) = x(«)x(*y)> 



