516 Sitzung der phys.-math. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



In derselben Weise ergibt sich $(%E—eS')R x = , also wenn man 

 die konjugierten Matrizen nimmt, nach (io.) § 4 



(3.) B % ${xE-eS) — , R x *(<cE-eT) = 0. 



Nach (3.) § 3 kann man für &(xE-eS) auch <S(<I>(a;-((#))e)) schreiben, 

 (1. h. S(y), wo y = g((x)) und j/(m) = $(x-ue) ist. 



Zu der Formel (2.), worauf* die folgende Entwicklung wesentlich 

 beruht, gelangt man auch, indem man t = xyz (oder yzx) setzt , und 

 in der Gleichung 



*(*: 





*{*)X(9*), 



worin 



<„ = 2 ou B a; x a M<w3 ; y„ zg , x ( .'/- ) = - r «ß ( X ) //.< ~r 



ist. die Koeffizienten von y a Zß vergleicht. 



§ 6. 

 Die kleinste Anzahl unabhängiger linearer Verbindungen der 

 Variabein, wodurch sich eine Funktion oder ein System von Funktionen 

 ausdrücken läßt, nenne ich seinen linearen Rang, oder auch nur seinen 

 Rang, sobald eine Verwechslung mit dem Begriffe des Ranges einer 

 Determinante oder Matrix ausgeschlossen ist. Der lineare Rang m 

 einer quadratischen Funktion 



( I .) i / •„.; ,(x)x a X;h = F(X, V, •■><■) = Xl> S ) = *i ~ 2 *ä 



ist gleich dem Range der aus ihren Koeffizienten gebildeten sym- 

 metrischen Matrix R , und gleich dem linearen Range des Systems 

 der il linearen Funktionen 



(2.) ^r a i( x )x !i , 



den halben Ableitungen der quadratischen Funktion. Durch irgend in 

 gerade dieser linearen Funktionen, die von einander unabhängig sind, 

 Läßt sich %(x 2 ) darstellen. Ebenso kann man ihre Kovariante, die 

 symmetrische bilineare Form 



( 3 • ) - ''.,2 ( x ) x «y<i = F(x > x . y) = x ( -<7/ ) = x ( y* ) 



«,& 



durch jene m Variabein ausdrücken und durch die m, die unter den 

 n Variabein X r ti .y ;l von einander unabhängig sind. 



Die trilineare Funktion %{xyz) = %{{xy)z) ist eine bilineare 



Funktion der Koordinaten von xy und von z, läßt sich also durch die 



m Variabein ausdrücken, die unter den n Variabein 2 r^Za von ein- 

 es 

 ander unabhängig sind. Sie ist gleich %(x(yz)) = %(z(xy)) = %({zx)y), 



