Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. . r ) 1 t 



also auch nur abhängig von den Variabein i. r x und den Variabein 



■ 

 i /■.//,. Dasselbe gilt von ^(xyzt) = %(yztx) ■ %(ztxy) ■ (txyz). 



Daher ist auch 



x(x") = K + u * + ■■■ + u' 



nur von den Variabein (2.) abhängig, also auch das Produkt 'I>(.r) 

 = u l u a ---u r , dns eine ganze Funktion jener Potenzsummen ist. um- 

 gekehrt hissen sidi durch die linearen Verbindungen der Variabel« 

 x 1 ,x i , ■•(„. von denen <l>(.i) abhängt, auch die in der Entwicklung 

 von <i?{ue — x) auftretenden Funktionen $ 1 (x), $ 3 (x), ••■ ausdrücken, 

 also auch %(x 2 ). 



I. Ist *(.(') ein Produkt von Primfaktoren der Gruppendeterminantej 

 11/11/ yjx) die Spur von, <H.r)., so ist der lineare. Rang von <I>(.r) gleich dem 

 der quadratischen Funktion yj.r 2 ). also gleich dem Range der Matrix R , 

 und die Funktion *(#) läßt sieh, durch die Ableitungen von %(x 2 ) aus- 

 drücken. 



Jetzt seien «fr , *', *", ■■• die k verschiedenen Primfaktoren von 0, 

 und %, X)', Xi", ■• ihre Spuren. Sind dann C, C, C", ... irgend welche 

 Matrizen //"'" Grades, so will ich zeigen: Eine Relation 



(4.) CB, Ä +C'R x . + C"R y ..+ --- = 



kann nur bestehe«, wenn einzeln 



CR., = C'R, : = C"R V : = • • • = 

 ist. Denn nach (2.) § 5 ist 



' »<■- "("!*;- , )'>» 



und mithin, da |T(^)| von Null verschieden ist, 



Nun sei * = *'*" ••• das Produkt der k—\ von * verschiedenen Prim- 

 funktionen. Multipliziert man mit 4>* , so erkennt man, daß die Ele- 

 mente der Matrix f (x)CR j — I alle durch die Funktion r 1 '" Grades 

 '!'(•<) teilbar sind, also weil * und J? teilerfremd sind, auch die der 

 Matrix CR I — — | . Da diese aber nur vom (r-1)"" Grade sind, so 

 müssen sie Null sein. Mithin ist 



. = <a(T)iW»«,. 



Zu diesem Ergebnis kann man auch mittels der Formel (3.) § 5 

 gelangen. Nach dieser ist R x .¥{xE-eS) = 0, und weil je zwei ganze 

 Funktionen der Matrix S mit einander vertauschbar sind, auch 

 R. /r t(xE-eS) = R x »*"(xE-eS)&{a;E-eS) ••• = 0. 



