518 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. Iß. April. 



Folglieh ist auch 



CR y (Y (xE-e S) + * (xE-e S)) = 0. 



Die Determinante der in der Klammer stehenden Matrix, einer Funktion 

 von *S, ist von Null verschieden, weil die Funktion ^(x-ue) + <b{x-ue) 

 der Variabein u für keine Wurzel der charakteristischen Gleichung 

 ®(x-ue) = verschwindet. Folglich muß CR = sein. 



Sind m , m', m" , ■ ■ ■ die Ranezahlen der Matrizen R , , R ■ , R r ,. , • • • , 

 so sind unter den «Variabein 2 r a a J (y^)xp j genau m! unabhängig, unter 



den n Variabein X r a ß(%")x ß genau in.", usw. Die so erhaltenen m + rri' 



+ m" + • • • linearen Verbindungen der n Variabein x l , x 2 , • • • x n sind aber 

 alle untereinander unabhängig. Denn eine in x L ,x 2 , ■••*"„ identische 

 Beziehung 



X c a (X r aß {x)*ß) + 3cUX f B 3(x>/ä) + S e»{% r atl (x" )■**)+ ■■■ = 



kann nur bestehen, wenn die k Teilsummen einzeln verschwinden. Die 

 n Gleichungen 



2 c n r aß ( x ) +Xc^ r„ ß ( x ') + X ei'r.ßCx") + • ■ ■ = 



haben nämlich die Gestalt (4.), falls C eine Matrix ist, worin eine 

 Zeile aus den Elementen c 13 c 2 , •••<?„ besteht, während die Elemente 

 der anderen Zeilen verschwinden. 



Da 2; % a x a = 2 e a (X ?*„# (%)•%) eine lineare Verbindung der n Va- 



riabeln (2.) ist, so sind auch die k Funktionen 



(5-) x(*). x». x"(*),--- 



linear unabhängig. 



Ferner läßt sich %(x 2 ) als eine quadratische Funktion von m un- 

 abhängigen Variabein mit nicht verschwindender Determinante aus- 

 drücken %'{x~) als eine Funktion von m' Variabein vom Range m', 

 usw.. und diese m + m'+rrl" + ■■• Variabein sind alle unter einander 

 unabhängig. Sind also c , c , c" , •■■ Konstanten, so ist der Rang der 

 ( j uadratischen Funkti on 



c x (x-) + c'x'(x"-) + c"x"(z°~) +'■• 



gleich der Summe der Rangzahlen der einzelnen Summanden. Der 

 Rang von c%(x 2 ) ist oder m, je nachdem c = ist, oder nicht. 



IL Der Rang der Matrix cR y + c'R y . + c"R y „+--- ist gleich der 

 Summe der Rangzahlen der Matrizen cR , c R '■ , c" R.^ , •■■•. 



Der lineare Rang eines Produktes von Primfaktoren der Gruppen- 

 determinante ist gleich der Summe der Rangzahlen ihrer verschiedenen 

 Primfaktoren. 



