Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. 511) 



§ 7- 

 Die Spuren der Determinanten | S{x) | und | T{x) | bezeichne ich mit 



(j \ u (%) = X f a x a = X s KX (x) , t(x) ~ X T a X„ = % t xx (x) . 



Ihre Koeffizienten sind 



und nach (2.) § 3 ist 



o- = sx + s'x' + s "x"+ ■■■ =% s X , 



Daher haben nach Satz II, § 6 die Matrizen iü, und R z beide den 

 Rang in + m + m" + ■•■ . 



Eine Gruppe (e), wofür die Determinante der symmetrischen 

 Matrix 



(4-) R F = P=( Pa ß) 



von Null verschieden ist, nenne ich eine DsDEKiNDsdhe Gruppe 

 (Ded. (27.)), da Dedekind zuerst wenigstens für die kommutativen 

 Gruppen die Bedeutung dieser Bedingung erkannt hat. Für eine solche 

 ist nach dem Satze des § 2 &(x) = \S(x)\ = | T(x) | , also er = r, und 

 der Rang von R^ 



n = m + m' + m" + ■ ■ ■ =^». 



Eine ÜEDEKiNDsche Gruppe kann also auch als eine solche definiert 

 werden, deren Ordnung dem linearen Range ihrer Determinante gleich 

 ist, Ist 



A> •=. x + x' + x" '+•■■ = 2 x 



die Spur des Produkts der k verschiedenen Primfaktoren von 

 ¥(#) = $$'*"■•■ = Ui(x), 



so hat nach Satz II, § 6 auch R^, den Rang Xm = n. Demnach ist 

 \R+\ von Null verschieden. Nach (3.) § 5 ist aber 



R^Y(Se-Ex) = , 

 und folglich ist 



(5.) ¥(Se-Ex) = . 



Da die Funktion 



(6.) g(u) = ü(ue — x) = II*(«e — x) 



keine mehrfachen Faktoren hat, so ist mithin g{S) = die redu- 

 zierte Gleichung für die Matrix S (vergl. Mol. Satz 24). 



