Fkobenuis: Theorie der hypercomplexen Grössen. .)_l 



X = S{x) , so sind die Elementarteiler von \uE X\ alle linear und 

 \ genügt der Gleichung g(X, x) = . 



Diese in a\, .v„. ■ ■ ■ x :i identische Gleichung wird daher auch durch 

 jedes spezielle Wertsystem der Variahein befriedigt. Für ein solches 

 brauchen u, , ■//, . • • ■ u p nicht alle verschieden, die Elementarteiler von 

 \uE A'| nicht alle linear, und es braucht g(X,x) = nicht die redu- 

 zierte Gleichung für A' zu sein. Wenn aber x so gewählt wird, daß 

 u t , ".,,■■■ «,, verschieden sind, so ist y(X,x) = o die reduzierte Glei- 

 chung für die Matrix .V. Denn mehr ;ils 7) verschiedene Wurzeln kann 

 die Gleichung \uE— X\ = Q nicht haben, und ist d ( .V ) = . so 

 muß \t(//) für jede Wurzel dieser charakteristischen Gleichung ver- 

 schwinden. Da dann die Gleichung g(u,x) = keine mehrfache 

 Wurzel hat, so sind die Elementarteiler von \uK X\ alle linear. 



Sei x so gewählt wie eben, und sei y eine mit x vertauschbare 

 Größe. Dann ist auch die Matrix Y = S(y) mit X = S{x) vertausch- 

 bar. Daher ist die Determinante 



(2.) 1 11X+ cY+ wE\ = | S(ux+ n/+ we)\ = II (^(u.r + oy | we)J 



ein Produkt von linearen Faktoren uu a + vv a + w , worin u a und v a 

 zugeordnete charakteristische Wurzeln der beiden vertauschbaren Ma- 

 trizen X und Y sind, und mithin ist auch 



(3.) $ (ux + vy + ive) = W (nu„ + vv a + ir) 



ein Produkt linearer Funktionen von u,v,iu. Setzt man v = oder 

 u = , so erkennt man : den r charakteristischen Wurzeln u l , ■■■ u r 

 von $(.r) sind die r Wurzeln »,,•••», von &(y) in einer bestimmten 

 Reihenfolge zugeordnet, und folglich auch den p Wurzeln «,,•••«, 

 von ;/(«. x) = die /» Wurzeln w, , • • • v p von y(v,y) = 0. Da ferner 

 W, , --«p verschieden sind, so zeigen die Formeln (2.) und (3.). daß je 

 zwei gleichen Wurzeln u„ = u, unter den n charakteristischen Wurzeln 

 u x . ■■■ u„ von X gleiche Wurzeln o„ = r>. von Y zugeordnet sind. 



Ist / eine Konstante, so sind v 1 — lu l , ■■■ v p — lu p die Wurzeln der 



Gleichung g(w, y-lx) = 0. Ist / nicht gleich einem der Brüche ■ "— - — , 



so sind jene p Wurzeln alle verschieden, und folglich sind die Ele- 

 mentarteiler der charakteristischen Determinante der Matrix Z = Y— IX 

 alle linear. Da X und Z vertauschbar sind, und F= IX + Z eine 

 Funktion von X und Z ist. so sind nach Satz I auch die Elementar- 

 teiler von Ir^-I'l alle linear. Nach Satz II ist daher Y eine ganze 

 Funktion von X (vergl. Mol. Satz 27). 



Die Gleichung niedrigsten Grades, der x genügt, hat den Gradj?. 

 Daher sind x° , x l , .1" ' linear unabhängig, jede ganze Funktion von 



