522 Sitzung der phys.-math. Ciasse v. 30. April 1903.— Mittheilung v. 16. April. 



x aber von diesen p abliäniiiii - . Die linearen Gleichungen xy—yx = 

 zwischen den n Unbekannten //, . y t , • • • y„ haben daher genau p un- 

 abhängige Lösungen. Die Matrix ihrer Koeffizienten S{x)-T(x) hat 

 daher den Rang n—p. 



III. <Smd /'///• eine bestimmte Größe x einer DEDEsim>schen Gruppt 

 dir r + r' + r" + ••• Wurzeln der Gleichung tt&(ue—x) = alle verschieden, 

 so hat die Matrix S(x) — T(x) den Rang n-{r + r' + r" + ■■■). Dann ist 

 jede mit x vertausclibare Größe y eine ganze Funktion von x, und es sind 

 für jede solc/ie Größe y die Elementarteiler von \rE— S(y)\ alle linear. 



§ 9- 

 Die Theorie der DEDEKiNDSchen Gruppen werde ich in den §§ 13 

 bis 16 zu Ende fuhren. Jetzt kehre ich zur allgemeinen Theorie zu- 

 rück. An Stelle der Basis e, ,e 2 j - " £ n der Gruppe (e) kann man eine 

 neue Basis durch eine lineare Substitution 

 (1.) --X Caß h 



einfuhren, worin die Determinante der Matrix C = (e,.) von Null ver- 

 schieden ist. Ist dann 



(2.) - f„.r„ = S e„5;«, 



so ist 



(.v) X a = i C a ßXß . 



ß 



Die Größen . — ,%„,%«,<?., sind den Grundzahlen e a kogredienl, die 



Größen y a ,z a sind den Koordinaten x a kogredient. den Grundzahlen 

 e a kontragredient. Ferner ist 



Sf(*) = C->ßx )C, •/'(,• ) = C-*T(* )(\ 

 Ä(g) = C'Ä(g)C, Ä'(g) = C'B'(Z)C. 

 Demnach sind die Exponenten und die Grade der Elementar- 

 teiler, worin die Determinanten der Matrizen R(^), S{x). T(x) zerfallen, 

 Invarianten der Gruppe. Dasselbe gilt aber für die Determinanten 

 der von je 2« Variabein abhängenden Matrizen 



(5-) S(x)+T(y), Ä(g) + *'(,), 



insbesondere auch für die Elementarteiler der Determinante der .'Matrix 

 der bilinearen Form uF(£, y, z) + vF(£,z,y) von y und c 



(6.) »/.'(£)+ rll'(i). 



Zur Erläuterung dieser Bemerkung betrachte ich einige Beispiele ans 

 der Arbeil des Hrn. Study, Über Systeme von complexen Zahlen, Göttin- 

 ger Nachrichten 1889. Ist (St. IX) 



