Frobenids: Theorie der hypercomplexen Grössen. -»li-i 



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(7-) R(5) ^ 



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so sind jene Elementarteiler 



(8.) £?> + »)(« + »)((«-*)* + *(« + ")*)- 



worin der letzte Faktor für c=0 ein quadratischer Elementarteilerist, 

 sonsl in zwei verschiedene lineare Elementarteiler zerfallt. Diese For- 

 mel zeigt, daß c eine (nicht numerische) Invariante der Gruppe ist. 

 Ist ferner (St. XIV) 



(gl '-■! §3 %^ 



l, o g« 



Sa -s 4 



| 4 o 



-ii sind die Elementarteiler von |mJ?(|) + vR'(£)\ 



(io.) gg*(« + i>)(« + '•> («-»)(«-»), 



also wesentlich von den obigen (für c = 0) verschieden. Doch will 

 ich hier auf die Klassifikation der Gruppen nicht näher eingehen. 



Es ist möglich, daß die Größen (2.) auch dann noch eine Gruppe 

 (9) bilden, wenn die Koordinaten gewissen linearen Relationen unter- 

 worfen werden. Dann wird (9-) eine Untergruppe von (e) genannt. 

 Lire Grundzahlen 9, . C-, , . . • sind lineare Verbindungen der n Grund- 

 zahlen e a , und damit (9) eine Gruppe sei. muß jedes der Produkte 

 9 C-. eine lineare Verbindung der Größen 9^,9-j,.-. -ein. 



Ist auch jedes der Produkte s a 9^ eine lineare Verbindung der 

 Größen 9, . 9 S . . • • . so heißl (9) eine invariante Untergruppe 1 von 

 (si. Dann definieren die Formeln (2.) § 1 auch dann noch eine Gruppe 

 |y|. wenn man die «Grundzahlen e a den linearen Relationen 9^ = 0, 

 9 2 = (),.•■ unterwirft, oder wenn man je zwei Größen von (e) als 

 gleich mod. (9) betrachtet, deren Differenz der Gruppe (9) angehört. 

 Sie wird die der invarianten Untergruppe (9) komplementäre, mit (e) 

 homomorphe Gruppe genannt {Begleitendes Zahlensystem bei Molten). 



1 Ist ö eine endliche Gruppe der Ordnung« und © eine Untergruppe der Ordnung 

 - . ist K ein Element von s? und P ein Element von ©, so bilden die hyperkomplex, n 



Größen i. E x x eine Gruppe (*) der Ordnung h, und die Größen — P x P eine Unter- 

 gruppe 1 '- 1. Sie ist nicht etwa eine invariante Untergruppe von (• |, wenn © eine solche 

 von ö ist. Ist aber 5 = © + ©^4 + ©ßH . str-erhält man dann eine invariante Unter- 

 gruppe der Ordnung n — m von (s), wenn man die Veränderlichkeit der n Koordinaten 



x R durch die n Gleichungen ü x P = 0, i: x AP - - 0, - x B p = 0, ■•■ einschränkt. Die ihr 

 p f !■ a 



komjilementäre mit (s) homomorphe Gruppe (ij) steht zu der Gruppe „ in ders 

 Beziehung wie (e) zu ©. 



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