524 Sitzung der phys.-inath. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



Um dies einzusehen , transformiere man die Basis so. daß S^ , S- 2 , 

 die Grundzahlen s m+1 , ••• e„ werden. Dann wird die Untergruppe (£) 

 durch die m linearen Gleichungen x 1 = 0, •• ■ x m = zwischen den 

 Koordinaten bestimmt. Damit (9-) eine Untergruppe sei, ist notwendig 

 und hinreichend, daß a aSy = ist, falls at,<rn,ß> m und 7 > m 

 ist; damit (S-) eine invariante Untergruppe sei. daß a aiy = ist, 

 falls a. < m und auch nur eine der beiden Zahlen ß oder 7 > m ist 

 (Mol. Satz 2). Dann definieren die Gleichungen (2.) § 1 auch dann 

 noch eine Gruppe, wenn £,„ +1 = ■•• = s„ = gesetzt wird. Denn 

 in den Formeln (4.) § 1 hängen a\, ■•• x m nur von y, , ■■■y,„ und 

 z lt ■■■:„, ab. In den beiden Matrizen <S'(.r) und T(x) verschwinden 

 daher alle Elemente, welche die ersten m Zeilen mit den letzten 

 n — m Spalten gemeinsam haben. Demnach ist 



S, 



O21 ^2 



\T»T t )' 



wo 7.. B. die Teilmatrix S, nur die ersten m Zeilen und Spalten von 

 S enthält. Aus S(y) S(z) = S{yz) folgt daher S^yJS,^) = S,(y*), 

 und da 5,(0;) = ^i^i + ••• + %*£„ nur von a; x , ■ • ■ x m abhängt, so de- 

 finieren die Gleichungen 



E/3Ey = v •;< «„,;.,,„ (ß . y = 1 . 2 . m) 



eine Gruppe (»1), die aus (e) hervorgeht, indem man e„ 1+1 = ••• 

 = e„ = setzt. Weil | S | = | S, | | S s | und \T\ = \ J\ \ \T a | ist. so ge- 

 nügt (vi) auch den Bedingungen (1.) § 3. Ferner ist die Determinante 

 der Gruppe (e) durch die Determinante jeder mit (e) homomorphen 

 Gruppe (>)) teilbar, und dasselbe gilt von den mit (s) und (*j) anti- 

 strophen Gruppen. 



Ist außerdem auch o H/3 „ = 0, wenn z. > m und eine der beiden 

 Zahlen ß oder 7 < m ist. so zerfällt (s) in zwei Gruppen, deren jede 

 sowohl eine invariante Untergruppe von (e) wie eine mit (e) homo- 

 morphe Gruppe ist. 



! 10. 



Sind m,m',m", ■■■ die Rangzahlen der Tt Matrizen R. y , R y , R, /r , ■■■ , 

 so hängt $ nur von den m unabhängigen unter den 11 linearen Funktio- 

 nen 2 r ni {%)Xß ab, $' nur von den m' unabhängigen unter den Funktio- 

 nen 2 r a& (%)x r . usw., und diese m + m'+m"+ •■• Variabein sind alle 



ß 



unter einander unabhängig. Man kann dalier die Grundzahlen so wählen, 

 daß 4> nur von a?, , • • • x m abhängt, *' nur von x m+1 . ■ ■■ x m+m . , usw. Dann 

 hängt auch yj.r") = 2 r„ : {%)x a x & nur von x 1} ---x m ab. Daher ist 



