Frobenius: Theorie der In percomplexen Grössen. Ö'J.) 



/• r _ (yj =z. 0. wenn a oder ß > m ist, und da R den Rang m bat, 

 so ist die Determinante ///"'" Grades 



|r. x (x)l («,X=l,2..-m) 



von Null verschieden. Nach sj 6 hängt ferner auch die trilineare Funktion 

 X{tcyz) = X »•„„ (x)a„ &y x H y z : y = 2 »'*>. (x) ^.ßyX.yßSy 



nur von a - , . • • • .r,„ . y l , ■ ■ ■ //,„ ,;,.-■• ,-,„ ab. Ist daher ß oder y > m , 

 so ist S?r^(%)a X|8y = und mithin a xßy = 0. Demnach entsprechen 



den k verschiedenen Primfaktoren von Je mit (s) homomorphe 

 Gruppen. 



Oder noch einfacher: Alle Größen x, «leren Koordinaten den linearen 



Gleichungen 2 r„ ä (%)x ä = genügen, bilden eine invariante Unter- 

 es 

 gruppe (S-) von (s). Denn diese Gleichungen drücken aus, daß %(tx) = 

 ist für jede Größe /. Ist y eine beliebige Größe von (e), und ersetzt 

 man t durch yt oder ty, so erhält man %(t(xy)) — oder %(t(yx)) = 0. 

 Gehört also x dem Komplexe (S-) an, so gehören ihm auch xy und 

 //.r an. Folglich ist (S-) eine invariante Untergruppe von (e). 



Eine Gruppe (e) der Ordnung r heißt einfach (Molien: Ursprüng- 

 liches Zahlensystem), wenn sie keine invariante Untergruppe hat (außer 

 (£)). also wenn sie keine homomorphe Gruppe hat, deren Ordnung 

 < n ist. 



Nach der obigen Entwicklung darf die Determinante einer ein- 

 fachen Gruppe keinen Primfaktor * enthalten, dessen linearer Rang 

 m<n ist. Nach Satz II, § 6 darf daher nicht zwei verschiedene 

 Primfaktoren enthalten, muß also = * s eine Potenz einer Primfunk- 

 tion und mithin <r = s% sein. Ferner muß der Rang m von $, also 

 der Rang der Matrix R^ = sR y gleich m = n = rs, also muß (e) eine 

 DEDEKiNDsche Gruppe sein. 



Ist umgekehrt \R C \ von Null verschieden, und = * s eine Potenz 

 einer Primfunktion, so ist (e) eine einfache Gruppe, so ist sie nicht 

 einer Gruppe (vj) homomorph, deren Ordnung n < n ist (Mol. Satz 23). 

 Denn die Determinante von (*)) ist ein Divisor von 0, also gleich 

 0' = $"', und hat daher denselben Rang wie *, nämlich n. Der 

 Hang n von 0' kann aber nicht größer als die Ordnung n von 

 ivi) sein. 



Da S{x) und T(y) vertauschbare Matrizen sind, so zerfällt die 

 Determinante (Gr. § 10, (1.)) 



\uS(x) + vT(y) + wE\ 

 in ein Produkt linearer Funktionen von u,v,w. Ist uu l + vv l + w 

 einer davon, so erkennt man, indem man v = (u = 0) setzt, daß 

 u, (ü,) eine charakteristische Wurzel von &(x) (*(*/)) ist. Betrachtet 



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