526 Sitzung der phys.-math. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



man y als konstant, x aber als variabel, so ist ${ux + we) als Funktion 

 von w irreduzibel, also auch $(ux + (vv 1 + io)e) . Mit dieser Funktion 

 hat die Determinante den Faktor uu^ + vv^iv gemeinsam, also alle 

 r Faktoren uu a + vv 1 + w. Betrachtet man dann x als konstant und 

 y als variabel, so erkennt man, daß die Determinante jeden der r l 



Faktoren 



ii n. + r !■-.+ w (a , ß = 1 , 2 , • i • r) 



und jeden gleich oft enthält. Mithin ist 



| uS(x) + vl\y) + wE\ = (U(uu a + (•!): + w)) c 



und demnach s — rc. Speziell ist (Gr. § io, (8.)) 



(i.) \S(x)-T{x) + wE\ = w* n (u---{„,-u,yy. 



Die Elementarteiler der charakteristischen Determinanten der bei- 

 den vertauschbaren Matrizen S(x) und T(x) sind alle linear. Nach 

 Satz I, § 8 sind es also auch die Elementarteiler der Determinante 

 (i.). und insbesondere die s für w = verschwindenden. Folglich 

 hat die Matrix S(x)-T{x) den Rang n-s. 



Nach Satz III, §8 hat sie aber den Rang n — r. Daher ist (Mol. 

 Satz 29) 



(2.) r = s , m = n = r- . 



mithin c —- 1 und 



(3.) | %iS(x) + v T{y) + wE | = II [ {uu a + vv r i 4- w) . 



Die Determinante einer einfachen Gruppe ist eine Potenz einer Prim- 

 finiLiion, denn Exponent gleich dem Grade der Primfunktion ist. Der 

 lineare Rang dieser Funktion, welcher mit der Ordnung der Gruppe über- 

 einstimmt, ist gleich dem Quadrate ihres Grades. 



§ 11. 



Sind für eine bestimmte Größe // der einfachen Gruppe (e) der 

 Ordnung n = r~ die r Wurzeln der Gleichung $(««-/«) = alle ver- 

 schieden, und ist a eine bestimmte dieser r Wurzeln, so hat die De- 

 terminante \S(ue-h)\ lauter lineare Elementarteiler, und folglich die 

 Matrix S(ae-h) den Rang n — r. Daher haben (Mol. § 8) die linearen 

 Gleichungen {ae-h)t = zwischen den Koordinaten t l .---t tt der un- 

 bekannten Größe t genau r unabhängige Lösungen, t = t (1) , f (2) , ••■ / ( '. 



Ist x eine variable Größe, so ist auch / w .r eine Lösung, und 

 mithin ist 



&Kr = i .r . /' ' . 



