Frobenius: Theorie der hyper nplexen Grössen. • >'-' 



Da die r Lösungen i {>) unabhängig sind, so sind die Größen -x\ f 

 = y\(.r) lineare Funktionen der Koordinaten x lf ---x tt . Sind y und z 

 zwei andere Größen, und setzt man y„> = f x Ay) » ~*x ==/„>.( #) > s0 

 ist auch 



und mithin 



*(•» y« = 2 y w «W * = X y w ~«x «M • 



Ist also ,c = yr. so ist 



( I .) «rt = - y« *«> ■ 



Unter den /* = r 2 linearen Funistionen a;^ = f xX {x) seien «i unab- 

 hängig. Ist dann .c = yc, so hängen diese m Verbindungen von 

 x x ,---x n nach (i.) von den nämlichen m Verbindungen von jj x ,---y„ 

 und denen von z x , ■■■ ~„ ab. Folglich hat (s) eine homomorphe Gruppe 

 der Ordnung m. Da aber (e) einfach ist, so ist m = n = r 2 , und 

 mithin kann man r neue Grundzahlen £„, einführen, so daß 



wird. Für diese gehen die Formeln (4.) §1 in (1.) und die Rela- 

 tionen (2.) § 1 in 



(2.) E „: % , = £ „ 7 , e Q J%=0 (ß^J) 



über. 



Den & verschiedenen Primfaktoren von entsprechen, wie am 

 Anfang des £ 10 gezeigt ist, Je mit (e) homomorphe Gruppen. Die eiste 

 hat die Ordnung m, ihre Determinante ist ein Teiler von © und 

 hängt nur von #, , ••■ x m ab. Da $',$", ••• von x t , ••■ x m unabhängig 

 sind , so ist ihre Determinante eine Potenz von * , hat also , ebenso 

 wie 4> , den linearen Rang m. Weil ihre Ordnung ebenfalls gleich m 

 ist. so ist sie nach § 10 eine einfache Gruppe. Folglich ist ihre 

 Determinante gleich <fe r , und der Rang von * ist m = r'\ 



I. Der lineare Rang jedes Primfaktors der Gruppendeterminante ist 

 gleich dem Quadrate seines Grades. 



Ich bezeichne jetzt die Je verschiedenen Funktionen* mit *, , * 2 , ■ • • * A . 

 In der Gruppendeterminante S verschwinden alle Elemente s a& , welche 

 die ersten m l Zeilen mit den letzten n-m l Spalten gemeinsam haben, 

 ebenso alle Elemente, welche die folgenden ?« 2 Zeilen mit den ersten 

 111 , und den letzten n-m l -nt 2 Spalten gemeinsam haben, ferner die, 

 welche die folgenden m 3 Zeilen mit den ersten m x + m 2 und den letzten 

 11 ///, «j 2 - m :i Spalten gemeinsam haben usw. , während über die letzten 

 n- m 1 - ■■■ - m k Zeilen nichts bekannt ist. Dasselbe gilt von der anti- 

 strophen Matrix T, also auch von uS(j') + vT(y) + wE. Bilden die 



