528 Sitzung der phys.-math. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 1(3. April. 



ersten m, Zeilen und Spalten von S (T) die Matrix «S, (TJ, die fol- 

 genden ?», Zeilen und Spalten die Matrix .S, ( T 2 ) , • ■ ■ , so sei 



V — 



••■ \ 



r, ■ • • o 



r,/ 



(' °) t=( v °Y. 



Daraus ergibt sich der Satz von Molien: 



II. Jede Gruppe ist einer DEDEKWDschen Gruppe homomorphj deren 

 Determinante jeden Primfaktor ihrer Determinante enthält, und deren 

 Ordnung gleich dem linearen Range von ist. 



Dieser Rang m ist gleich dem Range der quadratischen Form 

 <r(x*) = X p a £ x a x ß , und um jene Gruppe zu erhalten, braucht man 

 nur die m unabhängigen unter den n Funktionen 2 p a s x s a ' s neue 

 Variable einzuführen: also in der Formel (4.) § 9 die Substitution C 

 so zu wählen, daß sie die Form t(x 2 ) in eine Funktion von m Va- 

 riabein, etwa in eine Summe von m Quadraten transformiert. Es ist 

 mir aber nicht gelungen, diesen Satz direkt, d. h. ohne Benutzung 

 der Primfunktionen $„ , zu beweisen. 



Ferner ist 



|S| = |S,| — |S*||S,| . 12-1 = 1211 — | 2i| |T,| 



und 



| uS(x) + v T(y) + wE\ — | «S, + v 7', + w#, | ■ • • | uS k + v 1\ + w E k | | uS +vT + wE \ 



Da S, die Matrix einer einfachen Gruppe ist. so ist nach (3.) § IO 



+„ = | iiS,(.t) + o T„(y) + wE, | = n ( uu a + n-; + w) . 



uii u t , ■■■ u r die charakteristischen Wurzeln von #„(#) sind, i\ , ■■■ r 

 die von <*>„(?/). Diese Resultate bleiben unverändert, wenn die Grund- 

 zahlen von (e) nicht in der oben beschriebenen Weise, sondern be- 

 liebig gewählt werden. 



Audi *„ = \uS (x) + vT„(y) + ivE \ zerfällt in lineare Faktoren 

 uu + vv + w. Hier ist u eine charakteristische Wurzel eines Prim- 

 faktors *„(#) und v„ eine solche eines Primfaktors *>(#)• Aus der 

 Irreduzibilität von $Jue-x) und * x (»e-y) folgt dann, daß *„ auch alle 

 r H r x Faktoren des Produktes n(uu a + in-. + ir) enthält, worin u a die r x 

 charakteristischen Wurzeln von $ K {x) und Vß die 7\ von *;.(,!/) durch- 

 lauft. Ist •/. = /. . so tritt also der Faktor *„ wiederholt auf. Wie 

 das Beispiel des £ 3 zeigt, kann aber auch /. von ?, verschieden sein. 



