Frouenius: Theorie der hypercomplexen ürüssen. .)_.» 



Wählt man für x eine invariante Größe, so sind die r x Größen U 



nach (12.) § 4 alle gleich ■ % { * ] {x). Die Formeln (2.) und (3.) § 8 



zeigen aber, daß dann der Wurzel v 3 die Wurzel y} x) {x) und nur 



diese zugeordnet ist. Demnach kann x nur dann von A verschieden 

 sein, wenn für eine invariante Größe x 



(1.) -l x w (a; ) = i- x o-)(^) (s, = r x) 



ist. 



Nun sei w = . u = V = 1 und 



(2.) v KX (x,y)=?n(u a + v B ), 



wo u a die r„ charakteristischen Wurzeln von *„(*') durchläuft, und 

 v- die r, von *, (y). Dann ist 4^ eine irreduzibele Funktion von 

 a\ . ■■■ x n , y l , ■■■ y„ . in hezug auf jene vom Grade r„ , in hezug auf 

 diese vom Grade r x , und es ist 



(3.) *{*,y) =\S{x) + T(y)\ = Il(v KX {x,y)) c "\ 



wo die ganze Zahl c,, > 0, aber e„ x > ist, und nur unter der Be- 

 dingung (1.) c.„ x > sein kann. Da 



¥,*(*, 0) = *„(*)''> . %.40 , «/) = *>.(//)''•* 



ist, so ergeben sich für die in den Zerlegungen 



( 4 .) | S(x) | = n *,(^ , I T{x) i = n *,(*)'> 



auftretenden Exponenten die Ausdrücke 



*■, = c tl i\ + c xi r a + ■■■ + c x n r k , 

 °' k = c lx 7\ + c 2x r 2 + ■■■ + c k ,_ n , 



SO daß stets 



(6.) *x > >\ , k ^ r, 



ist, Die beiden Funktionen | S{x) \ und | T{x) | haben denselben linearen 

 Ranu- 

 ly.) m = r{ + rl+---+rl, 



dieser ist gleich dem Range der Matrix R. und dem von R T und gleich 

 der Summe der Rangzahlen der k Matrizen Ä(% w ) oder der k Prim- 

 funktionen *„(#). Dagegen ist die Ordnung der Gruppe (s) 



(8.) » = ns x + ■■■ +ns k = i\t Y + ■■■ +r k t k = 5 c KX r x r t ., 



wo r K 7\. falls x von A verschieden ist, den Koeffizienten c xX + c^ hat. 



