.jüd Sitzung der phys.-inath. «'lasse v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



§ 13- 



Ich nehme jetzt die in den §§ 7 und 8 begonnene Theorie der 

 Di:i>F.KiNDschen Gruppen wieder auf. Für eine solche ist m = n, also 

 nach (6.). (7.) und (8.) §12 s„ = t, = i\. 



I. Der Exponent der in der Determinante einer DEDMKiwmchm Gruppe 

 aufgehenden Potenz einer Primfunktion ist dem Grade dieser Funktion gleich. 



Die Gruppe (e) zerfällt in k einfache Gruppen der Ordnungen 

 r". /•'',■■■. in jeder derselben zerfällt S(x) in r identische Matrizen 

 /•"'" Grades, und die r 2 Elemente x xX einer solchen Matrix sind unter 

 einander und von den Variabein der anderen einfachen Gruppen un- 

 abhängig. In meiner Arbeit Über die Darstellung der endlichen Gruppen 

 durch lineare Substitutionen IL. Sitzungsberichte 1899, § 5, habe ich 

 daraus den Satz abgeleitet: 



IL Sind a und b zwei bestimmte Größen einer DEDEKiNDSchen Gruppe, 

 und stimmen die elementaren Invarianten der beiden Matrizen S(ue—a) 

 und S(ue-b) über ein, so gibt es in der Gruppe eine Größe c } wofür 

 \S{g)\ von Null verschieden isl, und die der Bedingung c l ac= b genügt. 



Die Determinante einer DEDEKiNDSchen Gruppe ist 



(i.) ©(») = [S(*)| = |2»| = n*', 



ihre Spur ist 



I 2 . ) er = t = rx + r'x + r"x" + ■■■ = X rx, 



demnach ist auch 



(3.) P= R,= rR. / +r'R.,. + r"R.,..+ • • • = 2 /■/,',. 



Die Matrix R y hat den Rang r~, die Matrix r'R . + r"R ..+ ••• 

 = P~rR y nach Satz II, § 6 den Rang r"- + r" 2 + ••■ = n-r 2 . Die 

 Determinante \uP-rR y \ verschwindet daher für u = mindestens 

 von der Ordnung n — r*, für u = 1 mindestens von der Ordnung r 2 , 

 und da sie nicht für mehr als r Werte verschwindet, so ist nicht nur 

 (4.) \u,P-rR, / \ = \P\ «"-'■- (w-1)' 2 , 



sondern es sind auch die Elementarteiler dieser Determinante alle 

 linear (weil sie sonst für u = oder 1 von höherer Ordnung ver- 

 schwinden würde). Folglich genügt die Matrix H = rP~ l R der 

 Gleichung H* = H, also ist 



(5.) B X P-*B X =.±-JR 7L . 



Fügt man daher in (3.) links den Faktor RyP 1 hinzu, so erhält man 



= r'(R / P-i)R / . + r"(R / r^)R / ..+ ■■■ . 

 und mithin ist nach (4.) 5; 6 



(6.) B x P-*B w =:0. 



