532 Sitzung der phys.-math. Ciasse v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



die r 2 Größen g(u«, v 2 ) und die r' 2 , r" 2 , • •• Größen, die aus *', $" in 

 der nämlichen Weise erhalten werden. 



Ist x eine invariante Größe, so ist nach dem Satze des § 4 



«—...=«= — % (x) = c. Nach (13.) § 13 ist daher die charakte- 

 r 



ristische Determinante von S k = T h gleich («- — ) u n ~ r ' 2 , und die 



charakteristischen Wurzeln von (S{x)-cE) T(h) = S((x-ce)h) sind alle 

 Null. Mithin verschwindet eine Potenz dieser Matrix. Da sie aber 

 mit jeder Gruppenmatrix S(y) vertauschbar ist, so sind nach Satz III, 

 § 8 die Elementarteiler ihrer charakteristischen Determinante alle linear. 

 Daher verschwindet die erste Potenz, und mithin ist 



(1.) xh = ch = h — x{x). 



Multipliziert man also (12.) § 13 mit x, so erhält man 



(2.) x = rch + r'c'h' + r" c"h" + • • • = I>x(x) + h'x'{ x ) + h"x'i( x ) + " " 1 



wo die Koeffizienten rc = %(#), r'c = r /j'{x) , ••• gewöhnliche Größen 

 sind. 



Die k Größen h. h', h", •••, die nach (5.) § 6 oder nach (11.) 

 § 13 voneinander linear unabhängig sind, bilden also ein vollständiges 

 System von Lösungen der linearen Gleichungen S{x) = l\x). Unter 

 den n 2 Gleichungen s ali (x) = t a ß,(x) sind demnach n-k unabhängige. 

 Wenn nun die Größe x außerdem den Gleichungen %(.r) = %'(x) = •■■ 

 = genügt, so ist nach (2.) x = 0. 



Dies kann man auch so einsehen: Ist xy = yx, so ist nach (11.) 

 § 4 r%(xy) = %(x)%(y). Ist also %{x) = 0, so ist auch %(#?/) = 



oder 2 r aS) (%)Xß = 0. Gilt dies auch für %', %" , •■• , so ergeben sich 



ß 



r 2 + r' 2 + •■■ =n unabhängige lineare Gleichungen, und mithin ist 

 x & = 0. 



I. Unter den n 2 linearen Funktionen s aji (x)-t aS ,(x) der n Variabein 

 x 1 , ■■■ x„ sind n-k unabhängige. Sie bilden zusammen mit den k Funk- 

 tionen %{x), %'(#),••• n unabhängige Funktionen. Die k charakteristischen 

 Größen h, h' , ■■■ bilden ein vollständiges System unabhängiger Lösungen 

 der Gleichungen s aS (x) = t al {x). 



II. Unter den linearen Funktionen r„0 (£) - r^ (£) der n Variabein 

 £1, ••• £„ sind n-k unabhängige. Sie bilden zusammen mit den k Funk- 

 tionen h(£), h'(Z), ••• n unabhängige Funktionen. Die k charakteristischen 

 Parameter %, %' , ••• bilden ein vollständiges System unabhängiger Lösungen 

 der Gleichungen r at (Z) = r ia (£). 



Ein spezieller Fall dieser Sätze ist das elegante Kriterium, das 

 Hr. Molien in Satz 9 und 10. §3 für die Einfachheit einer Gruppe 



