Frobeniis: Theorie der hypercomplexen Grössen. .).}.> 



angibt. Jede einfache Gruppe ist nach § 10 eine ÜEDEKiNDSche, und 

 damit eine solche einfach sei, ist notwendig und hinreichend, daß 



Je = 1 ist. 



HI. Damit eine Gruppe einfach sei, ist notwendig und hinreichend, 

 daß die Determinante n' e " Grades \X <r K a KCti \ von Null verschieden ist, und 



daß £„ = <r x die einzige Lösung der linearen Gleichungen 



X (a K „;-a„ i<t )c. K = 



ist. 



Oder auch : 



IV. Damit eine Gruppe einfach sei, ist notwendig und hinreichend, 

 daß die Determinante n'" 1 Grades | X t k a K „$ | von Null verschieden ist, und 



daß .v, = e x die einzige Lösung der linearen Gleichungen 



X (a a x:i-a aix ).v>. = 

 x 



ist 



Daß hier jeder Satz in zwei verschiedenen Gestalten erscheint. 

 hat seinen Grund darin, daß für die Gruppe seihst zwei konjugierte 

 Formen neben einander gestellt werden können. Sind den Parametern 

 £,*!,£ die Größen x,y,z konjugiert, so sei 



F(%,y,z) = G(a?,r],£) = 2 ^3,, «« % v 

 Dann ist 



(3.) ",,- y = 2 bfr^py.y = 2 b yaX p n l . 



X X 



Durch diese Transformation geht also die Gruppe (e) in eine äquiva- 

 lente Gruppe (1) über, die konjugierte Gruppe. Bedient man sieh für 

 diese der Bezeichnungen (4.) § 9. so ergibt sieh, falls in jenen For- 

 meln C = P gesetzt wird, 



(4.) R,= T,P . K = S S P , S C =KP , T X = R X P. 



Ferner ist cr„ = e a . Ebenso, wie a aiy = b atly gesetzt ist, werde 

 p aS = q a!l gesetzt. Dann ist q al = 2 e K b Kal und mithin 

 2 p«x gm = 2 p„, e H K^, = 1«, a .:„« = e a 3 , 



X H . X X 



also Q = P -1 . Folglich ist die konjugierte Gruppe von (I) wieder die 

 ursprüngliche Gruppe, 



(5.) b a&y = 2 "::>.«</>.-, = 2 a,, a ,,q,i . 



§ 15- 

 In § 6. (5.) ist gezeigt, daß die k Funktionen /,( ,r) . /J .n . ■ • 

 linear unabhängig sind. Nach Satz I, § 14 ist dies auch dann noch 

 der Fall, wenn x nicht unbeschränkt veränderlich ist, sondern nur 



