534 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 30. April 1903. — Mittheilung v. 16. April. 



die invarianten Größen von (e) durchläuft. Diese bilden eine Unter- 

 gruppe (•<) von (e), deren Ordnung k ist (im allgemeinen keine in- 

 variante Untergruppe). Als Grundzahlen »5, ,*),,•• • »fc von (vi) kann man 

 die k Größen rh,r'h', •■■ wählen. Dann ist 



( I . ) ijÜ = r\* , »!« 1* = . 



Folglich ist (y\) eine DEDEKiNDSche kommutative Gruppe, deren Determi- 

 nante, falls man die Größen >i,, •■••/]/, durch £,,•■•£„ ausdrückt, gleich 



11 — %(#) ist. In der Tat sind diese Je linearen Faktoren, worin die Ver- 

 änderlichkeit der Koordinaten durch die Bedingungen s aSi (x) = t a3 (x) 

 ein geschränkt ist, linear unabhängig. 



I. Ist k die Anzahl der verschiedenen PrimfaMoren der Determinante 

 einer DEDEKiNDsdien Gruppe, so bilden deren invariante Größen eine kom- 

 mutative Gruppe der Ordnung Je, die ebenfalls eine DedekixdscJw Gruppe 



ist. Ihre Determinante ist IT — y (.r), während die Determinante der ge- 

 gebenen Gruppe für eine invariante Variable x gleich n( — %(#)) ist. 



Sind die Grade r = r' = ••• = 1, so ist Je = h, also ist nach 

 Satz I, § 14 identisch s ai (x) = t a/i (x) , a a!iy = a ay& . 



II. Die Determinante einer DEDEKiNvschen Gruppe zerfällt stets, aber 

 auch nur dann in lauter lineare Faktoren, wenn die Gruppe eine kommu- 

 tative ist. 



Damit die Determinante einer beliebigen Gruppe in lauter lineare 

 Faktoren zerfalle, ist nach Satz II, § 12 notwendig und hinreichend, 

 daß die ihr homomorphe I)Ei>EKiNDsche Gruppe der Ordnung m = 2 r 3 

 diese Eigenschaft besitzt, demnach eine kommutative Gruppe ist. Die- 

 selbe wird erhalten, indem man die m unabhängigen unter den n Funk- 

 tionen 2 p ni t l als Koordinaten einer Größe t einführt. Setzt man also 



t = yz , so müssen diese bilinearen Funktionen von y l , ■■• y n , z l , ■■■ z„ 

 bei Vertauschung von y und z ungeändert bleiben. Ist x eine dritte 

 Variable, so hat demnach die Funktion 



2 p„ß Xatg = a-(xt) = <r(xi/z) 



dieselbe Eigenschaft. Diese bleibt nach $j 6 stets bei einer zykli- 

 schen Vertauschung von x.y.z ungeändert, in dem betrachteten 

 Falle also bei jeder Vertauschung. Sie ist die Spur der Matrix 

 S(xyz) = S(x)S{y)S(z), also gleich 



(2.) <r(xyz) = 2 s>. B (.r) *„„(//) *„,.(,?) = 2 a t . m a u : x a x . // .x„i/ s z y . 



Benutzt man die antistrophe Gruppe, so tritt r(xyz) an Stelle von 

 tu vy:). Demnach ergibl sich der Satz (vergl. (artan, /. Thi-se, Sur 



