Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. 535 



In structure des groupes de transformatkms finis et continuSj Paris 1894. 



p.48, (5-)): 



III. Damit die Determinante einer Gruppe in lauter lineare Faktoren 

 ztrfalle, ist notwendig und hinreichendj daß die trilineare Funktion <r(xyz) 

 (oder r(xyz)) bei Vertauschung von y und z ungeändert bleibt, mithin 

 eine symmetrische Funktion der drei Reihen von Variabein istj daß also 

 die Ausdrückt 



(3-) — «).„«»■ " oder — n.u.c^i u K >.y 



auch bei einer Transposition von «, 3,7 ungeändert bleiben. 



Da <r(xyz) auch die Spur von S(.r) S(yc) ist. so können statl 

 der Summen (3.) ;iucli die Ausdrücke 



(4.) 2 a „>.„«„„» «>,;,, oder — 11 „,„. '.,„,. a „ . 



genommen werden. Mittels der Formeln (1.) und (2.) £7 erhält man 

 endlich die Ausdrücke 



— ß*)iK d>aa a itßy oder — a xxX a Xw ffl,^ , 



(5-) . ' , T 



— ci K , M a >Ma a K ßy oder _ a xxh «),„««„-.. . 



Mit Hülfe der obigen Sätze läßt sich die Zerlegung der Deter- 

 minante einer Dr.nF.Kixnschen Gruppe in ihre Primfaktoren ausführen. 

 Die linearen Gleichungen s^x) — l a ß(x) = haben k unabhängige Lö- 

 sungen. Nun stelle man die quadratischen Gleichungen zwischen den 

 Unbekannten % 1 , % s , •■• %„ auf, die aus 



(6.) x(*)x(y) = x(«0x(.*y) 



erhalten werden, indem man für x der Reihe nach jene k Lösungen. 

 für y die n Grundzahlen setzt. Sie liefern in Verbindung mit den 

 linearen Gleichungen r^jyj = r.jyj für die Verhältnisse %, , % 2 , ••; "/,,, 

 /,■ verschiedene Wertsysteme. Den konstanten Faktor wähle man jedes- 

 mal so. daß i. g a n% a % ß = 1 und 2. % a e a positiv wird. Dann wird 

 es gleich einer positiven ganzen Zahl r. dem Grade der Primfunktion <I», 

 die durch den charakteristischen Parameter % bestimmt ist. 



Oder man bezeichne k unabhängige Lösungen der Gleichungen 

 s .(.r) = t a ß{x) mit g,g', ■■■ oder auch mit ^,^2) " >!*■ Diese bilden 

 die Basis einer kommutativen ÜEDEKiNDSchen Gruppe der Ordnung /•. 

 es ist also Yi ß Yj y = S c a a v v\ a , wo c itly = c ayS ist. Ihre Determinante ist 

 ein Produkt von Je unabhängigen linearen Funktionen, und gehe, wenn 

 die Basis s, , e, , • • • e„ wieder eingeführt wird, in II \l (.r) über, wo 

 V I x) i \L .r . ist. Dann bestimme man. da -1 ,. d ,,.•■■ \l einen 



