634 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 11. Juni 1903. 



Theorie der hyperkomplexen Größen. IL 



Von G. Frobenius. 



In meiner Arbeit Theorie der hyperkomplexen Größen, im folgenden 

 mit H. zitiert, behandle ich im Anschluß an meine Untersuchungen 

 über die Determinanten der endlichen Gruppen vorzugsweise die Eigen- 

 schaften der DEDEKiNDsdien Gruppen. Wie Hr. Molien gezeigt hat 

 (H. §u, II), ist jede Gruppe (e) mit Haupteinheit einer ÜEDEKiNDSchen 

 Gruppe (S-) homomorph, deren Determinante durch jeden Primfaktor 

 der Determinante der ganzen Gruppe teilbar ist. Ist (vi) die größte 

 invariante Untergruppe von (e), die aus lauter Wurzeln der Null be- 

 steht — ich nenne sie das Radikal von (s) — , so ist (e) mod. (vi) = (S-), 

 d. h. (S-) ist die Gruppe (e), falls man darin je zwei Größen als gleich 

 betrachtet, deren Differenz in (vi) enthalten ist. 



Wenn von den n unabhängigen Grundzahlen e l} ••■e„ einer Gruppe (e) 

 die ersten m die Basis einer Gruppe (3-), die letzten n-m die einer 

 Gruppe (vi) bilden, so nenne ich (e) = (3-) + (vi) die Summe dieser bei- 

 den Untergruppen. Ist eine von ihnen (*]) eine invariante Untergruppe 

 von (s), so ist die andere (S-) eine mit (s) homomorphe Gruppe, weil 

 £i#i + •• • + t,„Xm + E,„ + 1 .'r m + i + • • ■ + £,,#„ = t l x l + • • • + E m x m (mod. V]) 



ist. Wenn beide Untergruppen invariante sind, so verschwindet das 

 Produkt aus jeder Größe von (3-) und jeder von (vi), und (e) zerfällt 

 in die beiden Gruppen (S-) und (vi). (H. § 9.) 



Eine in (e) enthaltene Gruppe (vi) heißt eine invariante Untergruppe 

 von (s), wenn xy und yx Größen von (vi) sind, falls y irgendeine 

 Größe von (vi) und x irgendeine Größe von (s) ist. Ist n-m die 

 Ordnung von (vi), so ist dann (e) (mod. vj) einer Gruppe (9) der Ord- 

 nung m homomorph. Es braucht aber nicht immer eine Untergruppe 

 (S-) von (e) zu geben der Art, daß (s) = (S-) + (vj) ist. 



Hr. Cartan hat in seiner Arbeit Sur les groupes bilineaires et les 

 systemes de nombres complexeSj Ann. de Toulouse, tomeXII, 1898, (im 

 folgenden mit C. zitiert) , dem Satze von Molien eine präzisere Fassung 

 gegeben, dio ich zur Vervollständigung meiner Darstellung aus den 

 Ergebnissen meiner ersten Arbeit herleiten will: 



