Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. II. 635 



Jede Gruppe mit Haupteinheit ist die Summe Hins Radikals und einer 



Dr.hKh i Mischen Gruppe, deren Determinante durch jeden Primfaktor der 

 Determinante der ganzen Gruppe teilbar ist. 



Während aber die invariante Untergruppe (>)), die ich das Radikal 

 von (e) nenne, völlig bestimmt ist, kann die Untergruppe (S-) meist 

 auf unendlich viele Arten gewählt werden. 



Wenn eine Potenz einer Zahl verschwindet, so nenne ich sie 

 eine Wurzel der Null (Pseudo-Nul bei Cartan, Nr. 21, nilpotent bei 

 Peirie). Eine Gruppe, die aus lauter Wurzeln der Null besteht , nenne 

 icli eine Wurzelgruppe. 



Wenn eine Gruppe (s) die Summe einer ÜEDEKiNDSchen Gruppe (S-) 

 der Ordnung m und einer Wurzelgruppe (*)) der Ordnung n — m ist, die 

 eine invariante Untergruppe von (s) ist, so ist (*]) das Radikal von (e). 

 Denn da (e) und (S-) homomorph sind, so ist (H. §9) die Determi- 

 nante der Gruppe (e) durch die der Gruppe (3-) teilbar. Der lineare 

 Rang der Determinante einer ÜEDEKiNDschen Gruppe (3-) ist ihrer Ord- 

 nung m gleich. Folglich ist der lineare Rang der Determinante von 

 (e) m>m. Das Radikal (>j) von (e) hat die Ordnung n—m. Da (>)) in 

 (*l) enthalten ist, so ist n — m < n-m. Mithin ist m = m und (»1) = (üj). 



Ehe ich zum Beweise des ÜARTANSchen Satzes (§ 5) übergehe, 

 will ich die Haupteigenschaften der Wurzelgruppen kurz herleiten. 



S 2. 

 Wenn keine der beiden Determinanten |S(#)| und |T(a;)| identisch 

 verschwindet, so besitzt die Gruppe (e) eine Haupteinheit e, und für 

 jede Größe x in (e) ist 



(1.) ex ^ xe ^ x. 



Umgekehrt hat Hr. Cartan (C. 15) gezeigt: Wenn für jede Größe x 

 ex = x ist, so ist S(e) = E, also |S(e)| = 1 , und wenn xe = x ist, 

 so ist T(e) = E, also |T(e)| = 1. Denn sucht man x so zu bestimmen, 

 daß ex = ist, so erhält man für die Koordinaten a\, ••• x n n homo- 

 gene lineare Gleichungen mit der Matrix S(e). Dann ist aber x = 

 ex = , also genügt diesen Gleichungen nur das Wertsystem SP, = 

 ■•• = x„ = 0, und folglich ist ihre Determinante |S(p)| von Null ver- 

 schieden. Weil nun S{e) 2 = S(e*) = S(e) ist, so ist S{e) = E. 



Sind |S(x)| = und |jT(#)| = 0' die beiden antistrophen Deter- 

 minanten der Gruppe e, so kann man zwei Größen y und z, deren 

 Koordinaten ganze Funktionen von x l , ■■■ x n sind, so bestimmen, daß 

 xy = Qe und zx = Q'e wird. Dann ist T(y) T{x) = T{xy) = T{e), 

 und mithin \T(y)\@'= 0", und ebenso |6'(^)|0 = ©'". Folglich ist 



