ß3fi Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 11. Juni 1903. 



jeder Primfaktor der einen der beiden Determinanten und 0' auch 

 in der andern enthalten (//. § 3). 



Da ich vielfach auch Gruppen ohne Haupteinheit zu betrachten 

 habe, so schicke ich darüber die folgenden Bemerkungen voraus: Be- 

 stehen zwischen (n-\f Größen a aßy [x, ß, 7 = 1, 2, ••■ n-\) die Re- 

 lationen 



< 2 \ 5 a Ka @ a y „& = 2 GExßiflSya« , 



so gibt es immer eine Gruppe (I) mit n-\ linear unabhängigen Grund- 

 zahlen £,,-•• £„_!, zwischen denen die Beziehungen 



(3.) £ S E y = J fl * E » 



bestehen. Besitzt (e) eine Haupteinheit, so habe ich dies H. § 2 be- 

 wiesen (vergl. auch Study in der Enzyklopädie). Im andern Falle 

 setze man 



(4.) a a0a = a aa0 — 1 (o=0,l,-"fi-l), 



sonst aber a a ^ = 0, falls einer der Indizes ist. Dann gelten die 

 Gleichungen (2.) auch für die n 3 Größen a a ß y (et,, ß, 7 = 0, 1 , •■ • » — 1). 

 Bezeichnet man ferner für ein bestimmtes Ä die Matrix {a a , l2 ) mit E x , 

 so ist E u = E und 



(^_) EßE y = % a a!iy E a . 



Wäre ferner X c x E x = , so wäre 2 c x a„ x0 = , also c a = 0. 

 Demnach bilden £,,•••!,., eine Darstellung der Gruppe (I) der Ord- 

 nung ra-1 durch Matrizen des Grades n. 



Diese Gruppe (s) ist eine invariante Untergruppe einer Gruppe (s) 

 mit der Basis e ,s l , ••• e„_ l , für die £ die Haupteinheit ist. In ihren 

 beiden antistrophen Matrizen S(x) und T(x) ist s 00 (x) = ^ 00 (' r ) = x oi 

 aber s oS ,(x) = t og> (x) = (und s„ (x) = t a0 (x) = x a ). Läßt man die 

 erste Zeile und Spalte wen', und setzt in den so erhaltenen Matrizen 

 (n-l)' en Grades x = , so erhält man die beiden antistrophen Matrizen 

 S(x) und T(x) von (e). Da von ihren Determinanten mindestens eine 

 identisch verschwindet, so ist eine der beiden Determinanten |S'(a;)| 

 oder | T(x) | durch x\ teilbar. 



Sei umgekehrt (e) eine Gruppe der Ordnung n mit der Haupt- 

 einheit e, die eine invariante Untergruppe (7) der Ordnung n-\ ent- 

 hält. Sei e 1 , ■■■ £„_! eine Basis von (7) , £ eine in (7) nicht enthaltene 

 Größe von (e). Dann sind \S{x)\ und \T(x)\ beide durch x B teilbar. 

 Je nachdem keine dieser beiden Determinanten oder mindestens eine 

 von beiden durch x"- teilbar ist, besitzt (F) eine Haupteinheit (e) oder 

 nicht. Wäre e in (e) enthalten, so wäre es nach der Definition einer 

 invarianten Untergruppe auch ee = e . Daher kann man für e immer 

 die Haupteinheit e wählen. 



