Frobenius: Tl rie der hypercomplexen Grössen. II. 637 



§ 3- 



Sind A und />' zwei Matrizen //"" Grades, so sind die charakte- 

 ristischen Funktionen von AB und BA einander gleich. Denn ist j /,' | 

 von Null verschieden, so isl B 'i BA \B = AB der Matrix BA ähnlich. 

 Sind also die Elemente von .1 und B variable Größen, so gilt die 

 Gleichung \uE AB\ = | uE—BA \ Cur alle Werte dieser Veränderlichen, 

 wofür |7>| nicht Null ist, und folglich gilt sie identisch. 



Sind 1/ und i zwei Größen der Gruppe (e) , so sind die Koordi- 

 naten ihres Produktes x = yz 



(i.) x a = X «,.■.//.•-,. X s ay (y)z y . 



g>,y y 



Kl nun S(y) = 0, genügen also y l , •■•y„ den linearen Gleichungen 

 = 0, so ist y: = 0, falls z eine beliehige Größe von (e) ist. 

 Besitzt also (e) eine Haupteinheit, so ist y — 0, in jedem Falle aber 

 ist y 2 = 0. 



Ist allgemeiner x eine Größe von (e) , für die S(x) m = S(x m ) = 

 isi . so ist x m z = und #'" + 1 = 0. Damit also x eine Wurzel der Null 

 sei. ist notwendig und hinreichend, daß die Matrix S(x) (oder T(x)) 

 eine Wurzel der Null ist. daß mithin die charakteristischen Wurzeln 

 von S(x) alle verschwinden. Ist zy eine Wurzel der Null, so ist 

 auch yz eine solche. Denn die charakteristischen Wurzeln der Matrix 

 S(zy) = S(z)S(y) sind alle Null, und folglich auch die der Matrix 

 S(y)S(z) = S(yz). 



In einer Gruppe (e) heißt eine Größe y eine Wurzelgröße, wenn 

 yz stets eine Wurzel der Null ist. falls ; eine beliebige Größe von 

 (s) ist. Sind .(' und z irgend zwei Größen von (s), so ist dann auch 

 y(zx) = (y~)x eine Wurzel der Null, demnach auch x(yz). Ist also y 

 eine Wurzelgröße von (e), so sind es auch xy, yz und xyz. 



Dann verschwinden die charakteristischen Wurzeln der Matrix 

 S( yz), und folglich auch ihre Summe &{yz). Sei umgekehrt <r{yz) = 

 für jede Größe z von (e). Ersetzt man z durch z(yz) K ~ 1 , so erhält man 

 <t({i/:Y) = 0. Demnach verschwindet (H. § 4, (5.)) die Summe der 

 x teu Potenzen der charakteristischen Wurzeln der Matrix S{yz), also 

 auch diese Wurzeln selbst, und folglich ist y: eine Wurzel der Null. 

 Die Koordinaten y lt ■ ■ ■ y„ der Wurzelgrößen y werden mithin gefunden 

 durch Auflösung der homogenen linearen Gleichungen, die man er- 

 hält, indem man die Ableitungen der bilinearen Form <r{y.:) nach 

 z l9 ---z n (oder die der quadratischen Form cr(y 2 ) nach y lt •••?/„) gleich 

 Null setzt. Daher reproduzieren sich die Wurzel^rößen von (e) durch 

 Addition und durch Multiplikation mit gewöhnlichen Größen. Ferner 

 sind yz und zy Wurzelgrößenj wenn y eine solche ist. Folglich bilden 



