638 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 11.. Juni 1903. 



die Wurzelgrößen von (e) eine invariante Untergruppe, die ich das 

 Radikal von (e) nenne. 



I. Das Radikal einer Gruppe (e) wird von allen Größen y gebildet, 

 deren Koordinaten für jede Größe : den linearen Gleichungen v{yz) = 

 (oder r{yz) = 0) genügen. 



Daß auch bei Gruppen ohne Haupteinheit (H. § 4, (9.)) 



(2.) 0- ( xy) = a (yx) 



ist, ergibt sich aus (2.), § 2, indem man 7 = & setzt und nach 7 

 minimiert (Mol. § 3, (4.)). 



Eine Wurzelgruppe kann auch als eine Gruppe definiert werden, 

 die ihrem Radikal gleich ist. Nennt man eine von Null verschiedene 

 Größe x, die der Gleichung x 2 = x genügt, eine Einheit, so hat Peiroe, 

 Linear Associative Algebra, Nr. 51 (American Journ. tome IV) gezeigt: 



II. Damit eine Gruppe eine Wurzelgruppe sei, 'ist notwendig und hin- 

 reichendj daß sie keine Einheit enthält. 



Denn ist m der kleinste Exponent, für den x m = ist, so kann 

 nicht x = x i sein, weil sonst x m ~ l = x m = wäre. 



Sei ferner -^/{(x)) = die reduzierte Gleichung, der die Größe x 

 der Gruppe (e) genügt. Dies ist die Gleichung niedrigsten Grades der 



Form px" + qx + rx"~ H = oder px + qx 2 + rx 3 -\ = , je nachdem 



(e) eine Haupteinheit x" = e hat oder nicht. Sei -^(u) = (u-a)"%(u) 

 und %(a) von Null verschieden. Man bestimme (Über vertauschbare Ma- 

 trizen, Sitzungsberichte 1896. § 3) eine ganze Funktion f(u) so, daß 

 f(u)-\ durch (u-a)" teilbar ist. Besitzt (e) eine Haupteinheit, so sei 

 ferner /(m) durch %(m) teilbar, ist dies aber nicht der Fall und ist a von 

 Null verschieden, so sei f{u) durch u%(u) teilbar. Dann ist f{uf — f(u) 

 durch 4 / i u ) teilbar, f(u) selbst aber nicht. Ist also y =/((#)), so ist 

 y* = y und y von Null verschieden. Ist demnach (e) keine Wurzel- 

 gruppe, so enthält sie eine Einheit. 



Hat (e) eine Haupteinheit, und ist 



xp(u) = (m — a) a (« — b) ß (u — c)v ■ ■■ , 



so mögen den verschiedenen Wurzeln a,b, c, ■■■ von \f/( M ) m der ange- 

 gebenen Weise die ganzen Funktionen f(u) . g(u) , h(u) , • • • entsprechen. 

 Dann ist f(u)g(u) und f(u) + g(u) + h{u) + ■■■ -l durch \^(w) teilbar, 

 uui\ mithin ist 



(3-) /((*))* =/((*)) • /((*))*((•)) = 



und 



(4-) /((■'■)) + *((*)) + /'((•'•)) + ■•■ = «. 



