Frobenius: Theorie der hypercomplexen Grössen. II. 639 



Auf diese Art Läßt sich (C. 17) die Haupteinheil e in so viele unab- 

 hängige Einheiten zerlegen, als die Gleichung \l (u) = verschiedene 



Wurzeln hat. 



III. Wenn die Primfaktoren der Determinante einer Gruppe mit ll</i//)t- 

 einheit alle linear sind; so besteht ihr Radikal aus allen in der Gruppe 

 enthaltenen Wurzeln der Kuli. 



Denn sind x und y zwei Größen der Gruppe (e), so ist 

 | S(ux + vy + we) \ = II (uu a + vo„ + w) 



ein Produkt von linearen Faktoren. Setzt man V = oder u = 0, 

 so erkennt man, daß hierin u t ,---u„ die charakteristischen Wurzeln 

 von S(x) sind und v l ,---v„ die von S(y). Ist y eine Wurzel der Null, 

 su ist r, = ••• = v n = 0. Ist z = g({y)), so sind dalier die charakte- 

 ristischen W'urzeln von S(z) alle gleich </(0). Ist also v von Null ver- 

 schieden und z = u(y + ve)~ x , so sind sie alle gleich — . Folglich ist 



| S( x + u{y + w«)- 1 ) | = n U, + * j , | S( y + ve)\=v", 



also weil 



>'(.(■ + w(y + <'e)~') 'S'(</ + ve) = »S^.cy -(- r.r + ue) 

 ist 



| S( xy + vx + ue) | = II (m„o + m) . 



Da beide Seiten dieser Gleichung ganze Funktionen von v sind, so 

 gilt sie auch für den bisher ausgeschlossenen Wert v = . Dem- 

 nach ist \S{xy + ue) \ = u", folglich ist (C. 28) xy eine Wurzel der Null 

 und y eine Wurzelgröße von (e). 



Die Umkehrung dieses Satzes ergibt sich aus den in § 5 erhal- 

 tenen Resultaten, wonach, wenn dort r > 1 ist, e* ia = ist, aber e, 2 

 dem Radikale von (e) nicht angehört. 



U- 



I. In jeder Wurzelgruppe gibt es eine von Null verschiedene Größe x, 

 die den Gleichungen xy = yx = genügt, falls y eine beliebige Größe 

 der Gruppe ist. 



Für diesen Satz gibt Hr. Cartan (Nr. 31 — 34) einen sehr scharf- 

 sinnigen, aber etwas umständlichen Beweis, den ich hier durch einen 

 wesentlich einfacheren ersetzen will. Man kann den Satz auch so 

 aussprechen: 



II. Jede Wurzelgruppe enthält eine invariante Untergruppe der Ord- 

 nung 1. 



Daß beide Sätze identisch sind, folgt aus einem von Hrn. Cartan 

 (C. 29) viel benutzten Lemma, worin x und y zwei Größen einer Gruppe 

 mit oder ohne Haupteinheit bedeuten: 



