640 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 11. Juni 1903. 



III. Ist xy = ax (oder yx = ax), wo a eine gewöhnliche Größe 

 ist. und ist y eine Wurzel der Null, so ist entweder x = oder a = 0. 



Nach Voraussetzung gibt es eine solche Zahl k. daß y k = ist. 

 also auch eine solche Zahl /, daß xy 1 = ist. Sei nicht x = 0, und 

 sei /// die kleinste Zahl dieser Art. Dann ist m > 0, und xy'" = 0, 

 alier xy m ~* (worunter für m = 1 x zu verstehen ist) von Null ver- 

 schieden. Aus xy"' = axy m ~' folgt daher a = . Zu demselben Re- 

 sultate gelangt man. indem man die Gleichung x{y-a) = rechts 

 mit y'"~ l + y'"~~ a + ■ ■• + a'"^ 1 multipliziert. Der Satz läßt sich so ver- 

 allgemeinern : 



IV. Sind x x , x.,, ■■■ x m Größen einer Wurzelgruppe, und ist das Pro- 

 dukt x 1 x i ---x m von Null verschieden, so sind die in Größen 



,r, , .r, x 2 , .c, .i:. .r, , ■ • ■ .r, .c, ■ ■ ■ .<•„, 



linear unabhängig. 



Denn sei 



a;c, ■ • ■ Xi + b Xi ■ ■ ■ XiX !+l + cxi ■ ■ ■ Xi&i + i .r /+2 + ■ • • = , 

 wo a der erste von Null verschiedene Koeffizient ist. Dann ist 

 b.v !+l + CXi+i x,+ 2 + ■■• = -y 



eine Größe der Wurzelgruppe (*i), also eine Wurzel der Null, und es ist 

 x x ■■• x t (a-y) = , 



also j\ ■•••«'; = und mithin auch x l ---x m = 0. 



V. In einer Wurzelgruppe der Ordnung n - 1 verschwindet das Pro- 

 dukt von je n Größen. 



Denn wäre x l ••■ x n von Null verschieden , so wären die n Größen 

 x y , x, x % , Xi .r 2 x 3 , • • • Xi x 2 ■ ■ ■ x„ 



linear unabhängig , also die Ordnung der Gruppe > n . 



Nach diesem Satze gibt es für eine Wurzelgruppe (>j) eine solche 

 invariante Zahl in, daß das Produkt von je m Größen von (jj) ver- 

 schwindet, aber nicht das von je m— 1. Ist x ein nicht verschwin- 

 dendes Produkt von m — 1 Größen von (*]), so ist xy und yx ein 

 Produkt von m Größen, und folglich Null. Durch wiederholte An- 

 wendung dieses Satzes ergibt sich (C. 31): 



VI. Die Gründzahlen ^ , v\ a , ■ • • n,_, einer Wurzelgruppe der Ordnung 

 n-\ kann man so wählen, daß das Produkt '*i a v\ß eine lineare Verbindung 

 der Grundzahlen ist. deren Index >a und >/3 ist. 



Nach dem Satze V gibt es feiner für eine Wurzelgruppe (»)) eine 

 invariante Zahl / (-///). die kleinste der Art , daß die l tc Potenz jeder 

 Größe der Gruppe verschwindet. Für eine kommutative Gruppe is1 

 / in. Ferner gilt der Satz: 



