Frobrnius: Theorie der bypercomplexen Grössen. II. 641 



VII. Gibt es in einer Wurzelgruppe, deren Ordnung n 1 ist, n— 1 

 Größen, deren Produkt a\.v..-.v„ , von Null verschieden ist, so ist auch 

 x\ ' von Null verschieden, und die Gruppe ist die aus allen ganzen Funktionen 

 von -i\ gebildete hommutative Gruppe. 



Denn nach Satz IV sind die n 1 Größen 



linear unabhängig, bilden also eine Basis der Gruppe (*]). Daher isi 



X„ = ff», X t •+- a Hi XiXi + ••• + ff*.,,-!-'"! X s ••• Xn-i (x = 1 . 2 . • • • n — 1). 



Da das Produkt von je »Größen der Gruppe (jj) verschwindet, so 

 erhall man durch Multiplikation dieser n—\ Gleichungen 



und mithin ist a;" -1 von Null verschieden. Daher bilden auch, wenn 

 man a\ = x setzt, 



x , ;r 2 , • • ■ #" _1 



eine Basis von (n). Ergänzt man sie durch x° = e zu einer Gruppe (s) 

 der Ordnung n, die aus den Größen z = zx" + z t x + ••• + c,.^"" 1 be- 

 steht, so enthält deren Determinante |<$>(c)| = 2" nur einen Elementar- 

 teiler. 



§ 5- 

 Ich wende mich jetzt zum Beweise des Satzes von Cartan. Sei 

 (e) eine Gruppe der Ordnung n mit Haupteinheit, sei (vi) ihr Radikal, 

 n—m seine Ordnung. Dann ist m der lineare Rang der Determinante 

 von (s) 



(i.) Q(x) = \S(x)\ = n**. 



Jeder ihrer Ä - Primfaktoren kann durch passende Wahl der Grund- 

 zahlen auf die Form einer Determinante 



(2.) *(#) = |JV; | («,ß = 1,2, •••*•) 



gebracht werden. Die 



(3.) m = r » + r'* + r"*+--- 



Elemente 



(4.) ^«ß , <ß , #<&,■■• 



der /" verschiedenen Determinanten $,$',*",••• der Grade r, r' , r" . ■■■ 

 sind lauter unabhängige Variable. Die Determinante der mit (e) homo- 

 morplicn ÜEDEKiNDSchen Gruppe (S-) ist n* r , der Exponent r von * 

 ist dem Grade des Primfaktors gleich. 



Man kann die «Grundzahlen von (e) so wählen, daß s ,,+,.-■•£„ 

 tlie Basis des Radikals (vi) bilden, und daß die Größen (4.) die Ko- 



