Frobeniüs: Theorie der hypercomplexen Grössen. II. ()4o 



Nun ist nach (8.) 



E «/3 = E „« f aS E 3S ' ( Li C< Ca E Aä » • ' • ( mo(1 - r l) • 



Ist « = $., so gelten die Gleichungen absolut. Ist a von «3 ver- 

 schieden, so ersetze man e aß durch £„„£„£ £0/3. Dadurch wird diese Grund- 

 zahl (mod. *]) so abgeändert, daß nach (il.) jetzt 



(I3-) e «„e„3= e «/3 ' E «9 E j3S = E <«S 



und 



ist. falls in der ersten Gleichung £ von /3 verschieden ist. 



Die Grundzahlen s aa ,e aa , ■■• ändere ich nicht weiter ah, wold aber 

 die Grundzahlen £„ß, e^, ••• , doch so, daß die bereits gewonnenen 

 Relationen bestehen bleiben. Ist >) eine beliebige Größe von (e), so 

 nenne ich 



(I5-) E x1 E X= 1 )x» 



eine Größe vom Typus (x,X). Sie genügt den Gleichungen 



(16.) *•»)■* = 1,* . i*x E * = »u. 



und wenn |U von jc, und v von A verschieden ist, 



(!/•) E .^x=0 , >U E „ = 0. 



Ist v\ eine Größe der invarianten Untergruppe (»)), so gehört auch 

 *1„> dem Radikal an. Dann kann man £ a/5 um eine beliebige. Wurzel- 

 größe v\ a!i vom Typus (a , ß) abändern, ohne daß die Gleichungen (13.) 

 und (14.) sich ändern. 



Nun ist e oS £ß„ = s aa , also 



(l8.) i aS e ßa = e„« -»]««, 



wo y hlu eine Größe von (*)) ist, und zwar nach (13.) eine solche vom 

 Typus {ei,ot). Daher ist die rechte Seite gleich e m (e-ri aa ). Aus der 

 Gleichung 



e-.r' = (e - x) (x° + .r + ■■■ + x 1 - 1 ) 

 folgt 



e = (e-x)(x° + x+ ■■■ +x'~ l ) 



falls x' = ist. Ist nun v^, = 0, so multipliziere man die Gleichung 

 (18.) rechts mit 



iL + *u+ ••• + r w 1 • 



Dann erhält man 



E «s( E &. + W = E ««> 



wo 



i&, = E ßa(i««+»iL+---+ii; 1 ) 



