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Über die Elementartheiler der Determinanten. 



Von G. FliOBENIUS. 



Dei Gelegenheit der Herausgabe seiner gesammelten Werke lenkte 

 Weierstrass meine Autinerksamkeit von neuem auf die Stelle seiner 

 Arbeit «Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen « (Monats- 

 berichte 1868). wo er durch eine vorläufige Umgestaltung der gege- 

 benen Form ihre JACOBi'sche Transformation vorbereitet. Er erreicht 

 dadurch, dass für jeden Werth von r die aus den letzten r Zeilen und 

 Spalten ihrer Determinante gebildete Unterdeterminante einen be- 

 stimmten Linearfactor p in keiner höheren Potenz enthält wie irgend 

 eine andere Unterdeterminante /''"Grades. Der Beweis dafür, dass eine 

 solche Umformung einer quadratischen Form stets möglich ist, bot 

 erhebliche Schwierigkeiten dar. Dieser Umstand bewog schliesslich 

 Stickelberger (Crelle's Journal Bd. 86). das Verfahren von Weierstrass. 

 und zwar ohne Benutzung neuer Hülfsmittel. lediglich durch eine ge- 

 schickte Umstellung der Beweisstücke, so zu modificiren , dass jene 

 Schwierigkeit vermieden wurde. Dabei ging aber ein wesentlicher 

 Vorzug der ursprünglichen Darstellung verloren. Hier werden nämlich 

 die invarianten Elementartheiler der Determinante gleich von vorn 

 herein in die Rechnung eingeführt; dort aber wird die Form zunächst 

 in eine Normalform übergeführt, die in lauter elementare, unzerleg- 

 bare Schaaren zerfällt, und erst dann wird aus der Invarianz der 

 Elementartheiler die Übereinstimmung ihrer Exponenten mit den Rang- 

 zahlen jener Schaaren erschlossen. 



Später habe ich (Crelle's Journal Bd. 88 S. 116) darauf aufmerk- 

 sam gemacht, dass man die Möglichkeit jener vorläufigen Umgestal- 

 tung mittelst eines Satzes darthun kann, den 11. Stephen Smith (Phil. 

 Trans, vol. 151 p. 318; Proc. of the London niath. soc. vol. IV p. 237) 

 gefunden hat. und für den ich dort einen neuen Beweis entwickelt 

 hahe. Aber sowohl dieser Beweis, wie der von Smith beruht auf der 

 Betrachtung einer durch arithmetische .Methoden erhaltenen Normal- 

 form. Nur ist sie bedeutend einfacher, als die von Weierstrass, weil 

 hei ihrer Bildung nicht nur Substitutionen zugelassen sind, deren 



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