Frobenius: Über die Elementartheiler der Determinanten. 33 



System noch einige Spalten wiederholt aufschreibt. Da <5 > § , ist, 

 so setze ich 



(i.) $ — $,_, = «, 



und nenne die Grössen />''■ nach Weiekstrass die Elementartheiler 

 oder die elementaren Invarianten des Systems a, .■ . Über diese 

 will ich nun die folgenden drei Sätze beweisen, worin r nicht grösser 

 als der Rang des Systems a iti vorausgesetzt wird. 



I. Jede reguläre Determinante y" 1 " Grades enthält eine reguläre 



Determinante (r — i )*''" Grades als Subdeterminante. 

 II. Jede reguläre Determinante (r — i )"'" Grades ist in einer re- 

 gulären Determinante /•"'" Grades als Subdeterminante ent- 

 • halten. 

 III. Es ist stets 



( 2 .) £,._, < £,. . S r — 2^,._, + d r _., > O . 



Da alle Elemente a al den Factor p in der Potenz (5, = e, ent- 

 halten, so enthalten ihn alle Determinanten zweiten Grades mindestens 

 in der Potenz 2d t . und mithin ist c>, ^ 2^, oder e, < e 2 . Ich nehme 

 nun an. für einen bestimmten Werth r sei bereits bewiesen, dass in 

 jedem System a„£ 



(3-) £,<£,<• • • <£ r _, 



ist, und will dann zeigen, dass für diesen Werth r die drei obigen 

 Theoreme richtig sind. Nach dem dritten Satze sind sie damit all- 

 gemein bewiesen. Sei 



M=\a„\ (u = Ul ,...u,-. v = ,. !( .) 



irgend eine von Null verschiedene Determinante r tc " Grades des .Systems. 

 Den Factor /> möge der grösste gemeinsame Divisor aller Unterdeter- 

 minanten p ten Grades von M in der Potenz 6 \ also M selbst in der 

 Potenz S' r enthalten. Sei T eine Unterdeterminante (/• — 2)'"' Grades 

 von M . die den Factor p genau in der Potenz <5;'_ 2 enthält. Dann 

 ist MT= PS— QU. wo P, Q. R, S Unterdeterminanten (r — i ) ten Grades 

 von M sind und folglich den Factor p mindestens in der Potenz £ r '-i 

 enthalten. Daher ist &' r -i-%._ 2 > 2<^'_,, und da nach der Voraussetzung 

 die Bedingungen (3.) für jedes System gelten, 



(4. i K — K = K — K = --- = d "-. — K-* = d > — K . • 



Sei ferner 



L = \a K> ] (k = x„... ».,._,; >. = >.,....>-,._,) 



irgend eine Determinante (/• — £)*"" Grades des Systems und 



L„ = \aJ (? = «„. ..x r _ |tP ; , = >.,...., . ) 



