•)4 Sitzung der physikalisch - mathematischen (.'lasse vom 18. Januar. 



die Determinante /•"'" Grades, die aus /. hervorgeht, wenn man di< 

 Zeile und Spalte hinzufügt, worin das Element a u stellt. Dann hat 

 Kroneckeb gezeigt, dass identisch 



is.) \L„ —La„\ = o (a = u,.... Ur; ,=,,...,, 



ist. Da diese Identität die Grundlage des folgenden Beweises bildet, 

 so will ich noch eine andere Herleitung dafür angeben. 



In dem Phil. ^Mau-. tSsi theilt Sylvesteh einen Satz über Deter- 

 minanten mit . für den ich in Gbelle's Journ. I>d. So (S. 54) einen 

 Beweis entwickelt habe. Nach diesem ist in jedem System a ai 



I. 



1J- 





wo der /weite Factor rechts in Leicht verständlicher Weise eine Deter- 

 minante (:/• — 1 )"'" Grades bezeichnet. Ersetzt man in diesen Deter- 

 minanten die Grössen a H durch o. so geht /.„ in i> u — /.</, über, 

 und mithin ist 



/• — /■<', 



1. 



(i... o 



= o. 



weil in dieser Determinante [zr — 1 )"" Grades alle Elemente ver- 

 schwinden, welche die letzten r Zeilen mit den letzten r Spalten 

 gemeinsam haben. 



Entwickelt man diese Gleichung nach Potenzen von /.. so erhält man 

 /. /)/ = /. m, -*- L'- 2 3L + . . . + X. 



liier ist M. eine ganze Function p ten Grades der Grössen L m , und 

 die Coefiicienten dieser Function sind Untei^determinanten (r — p) 4 ™ Grades 

 von .'/. Enthält also L den Factor p in der Potenz d. und enthält 

 ihn der grösste gemeinsame Divisor der Detentninanten L m in der 

 Potenz 6. so enthält ihn / M mindestens in der Potenz 



{r — p)$-t-p$'-i-$' r _ a = T u = c i,...r). 



Da nun nach 14.) 



-. + , — -= (* '— &) — (K - . — K-i _,)>:(* — $)— {K — K- ,) 



ist. so muss 



(70 <&' — $<%— K-, 



sein. Denn wäre 6 — $>■$',. — K — i> s " wäre r+,r>T und speciell 

 r,;>T. Da aber die linke Seite der Gleichung (6.) den Factor p genau 

 in der Potenz r enthält, so kann ihn nicht jedes Glied der rechten 

 Seite in einer höheren Potenz enthalten. Es ergiebt sich also der 

 folgende Satz, der die Grundlage der ganzen weiteren Entwicklung 

 bildet: 



