Frohenius: Über die Elementartheiler der Deterininan(en. 35 



IV. Das Product 1),. D r _ , zweier Determinanten r ten und (r — i) ten 

 Grades eines Systems ist theilbar durch das Product aus 

 dem grössten gemeinsamen Divisor aller Subdeterminanten 

 (/• — i) tl " Grades von I),. und dem grössten gemeinsamen 

 Divisor aller Superdeterminanten '"'" Grades von O r _,. 



Allgemeiner ist, wenn r <T s und t^.s — r ist, das 

 Product D r D s zweier Determinanten /■"'" und .s tc " Grades 

 eines Systems theilbar durch das Product aus dem grössten 

 gemeinsamen Divisor aller Subdeterminanten (s — <) u " Grades 

 von D s und dem grössten gemeinsamen Divisor aller Super- 

 determinanten (/•+/)"" Grades von 1),.. 

 Der zweite Theil dieses Satzes lässt sich leicht aus dem ersten 

 ableiten. 



Jetzt wähle ich für L und ,1/ reguläre Detenninanten (/• — i) te " 

 und /'"'" Grades des Systems. Dann ist $=&,._, und % = &r U11< 1 

 folglich nach (7.) 



?+%-, <* l . + * r _ 1 . 

 Da aber p in dem grössten gemeinsamen Divisor aller I) r in der 

 Potenz & r vorkommt und in dem einiger J),. in der Potenz &'. so ist 



Aus diesen drei Ungleichheiten folgt, dass 



(8.) £'= * r , ä;_, = £,._, 



ist, und damit sind die beiden ersten Satze für den betrachteten 

 W'eith von r und für jeden kleineren bewiesen. Nach 1. ist daher 

 <^ r '_, = S r _ 2 und mithin nach der letzten Ungleichheit (4.) 



Durch diese Betrachtung erhält man also die drei obigen Sätze sänunt- 



lich mit einem Schlage. Aus I. und IT. ergiebt sich noch die Folgerung: 



V. Sind R und 7' zwei reguläre Determinanten p tcn und r"" Grades 



eines Systems, ist A' eine Subdeterminante von T. und ist t eine 



Zahl zwischen c und r. so giebt es eine reguläre Determinante 



cr tc " Grades S, die eine Subdeterminante von '/' und eine 



Superdeterminante von R ist. 



Da R den Factor /> in keiner höheren Potenz enthält als irgend 



eine Subdeterminante c"" Grades des ganzen Systems, so ist R auch, 



wenn man statt des Systems aller Elemente nur das der Elemente 



von T betrachtet, eine reguläre Subdeterminante. Nach II. giebl es 



daher eine Subdeterminante <r ten Grades S von '/'. die R enthält und in 



Bezug auf T regulär ist. d. h. den Factor /> in derselben Puten/ d'_ 



enthält, wie der grösste gemeinsame Divisor aller Subdeterminanten 



