Frobenius: Über die Eleinentai'theiler der Determinanten. 37 



und nacli III. folglich 4+i = ^+i- Da aber p in dem grössten. gemein- 

 samen Theiler aller D ' +I in der Potenz £„_,_, vorkommt und A c+l eine 

 specielle D ?+I ist, so ist ^ e+ ,<^' + , und mithin ^ e+I =^ e ' +I und £ ?+1 = s^. 

 Demnach ist ^ +1 eine reguläre Determinante. Indem man also die 

 Zeilen passend und die Spalten entsprechend anordnet, so dass das 

 System symmetrisch bleibt, kann man eine Reihe (i.) von Haupt- 

 unterdeterminanten herstellen, die folgende Eigenschaft hat: 



Ist A=Xdba u ... a , , a nicht regulär, so sind nicht 



nur A._, und A +l regulär, sondern auch 



al>cr incht P^Sia,, . . .fl lH H a, +li)+ „ui]d es ist e == e +I . 

 Ferner ist stets ^4,. regulär. 



Die letzte Behauptung ist oben bewiesen, falls A r _, nicht regulär 

 ist. Ist aber A r _, regulär und A a g,-= 2 ± «,,... o r _ lil ._ I a«g, so ist 

 .•1„, ; ^4.. = A;. ; . Wären nun die Hauptunterdeterminanten .1,,. alle nicht 

 regulär, so e-äi> ( > e s nach II. eine reguläre Determinante A tli und die 

 rechte Seite jener Gleichung würde /* in der Potenz 2^,. enthalten. 

 die linke in einer höheren Potenz. Aus diesen Betrachtungen ergiebl 

 sieh der Satz: 



VI. Eine symmetrische Determinante enthält, wenn e j+i ^- s j ist, 



eine reguläre Hauptunterdeterminante rten Grades, und speciell 



wenn r ihr Rang ist. eine reguläre Hauptunterdeterminante 



pten Grades. 



Führt man in der quadratischen Form Xa tt& x a Xg i an Stelle von 



x J+1 die Variable x' +1 = x +1 — x ein. während man die andern Variabein 



ungeändert lässt. so bleiben .1. . . . A._,. A +l , . . . A,. ungeändert, 



während 



A\ = A 1 +2B i + C 



wird, also regulär wird. Durch Anwendung einiger so einfachen Trans- 

 formationen erhält man eine aequivalente Form, für welche die Deter- 

 minanten (i.) sämmtlich regulär sind. 



Zur Erläuterung füge ich noch folgende Bemerkungen hinzu: 

 Seien unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen A ; _, und A (+l 

 reguläre Determinanten. Nun giebt es nur drei Determinanten oten 

 Grades, die A 3 _, enthalten und in A +I enthalten sind, nämlich A,, 

 B und C , und zwischen ihnen besteht die Relation 



A^A^ = A i C i — II;. 



Nach V. muss eine derselben regidär sein. Ist .1 nicht regulär, so isl 

 e j+i = s t oder e +I > e , je nachdem B regulär ist. oder nicht. Isl C 

 regulär, so erreicht man durch die Substitution x[ = x. t , x^.,= — x„ 



