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dass A'==C, regulär wird und A 1 ,. A +1 1, ungeändert 



bleiben. Sind aber A und C beide nichl regulär, so ist // sicher 

 regulär, also i =e 3+1 , und wenn man ,c +l = .r + , — x setzt, so wird 

 A = A -+- iB + regulär. 



Eine Ausnahme macht aber liier der Fall, wo die Grössen a^ 

 ganze Grössen eines Körpers sind und /> = 2 oder ein Primtheiler 

 von 2 ist. Die Zahl 2 enthalte diesen Theiler in der Potenz £, und 

 der grösste gemeinsame Divisor aller Hauptunterdeterminanten und 

 der doppelten Nebenunterdeterminanten :"'" Grades in der Potenz 

 o. + £ • Die so definirten Zahlen £ bleiben ungeändert, wenn man 

 die quadratische Form durch eine Substitution transformirt , deren 

 Coefficienten ganze Grössen sind, und deren Determinante eine Ein- 

 heit (oder wenigstens relativ prim zu 2) ist. Ms ist stets £ , — £• 

 Ist £ a > o , so ist nach der obigen Deduction £ , = £ +1 =o und 

 e 3+l = e : . Für den Fall des absoluten Rationalitätsbereiches haben 

 II. Stephen Smith (On the Orders and Genera of Quadratic Forms 

 containing more than three [ndeterminates , Proceedings of the royal 

 soeiety of London tom. XVI |). 198) und Minkowski (Memoire sur la 

 theorie des formes quädratiques a coefficients entiers, Mein. pres. 

 tom. \XI\ p. 31) diese Sät/e mit Hülle einer Normalform 'bewiesen. 



Ähnliche Betrachtungen kann man über alternirende Systeme 

 anstellen, bei denen a aS , = — a . und a m = o ist. Da die Hauptunter- 

 determinanten unpaaren Grades alle identisch verschwinden, so ist 

 e s , = £ 2 , und man kann eine Reihe von regulären Hauptunter- 

 determinanten paaren Grades .■!.. A., ... A. r aufstellen., von denen 

 A 23 = £ ±a,, . . . a 2i in \ . enthalten ist. 



\us der fundamentalen Formel (7.) §. 1 haben wir die bisherigen 

 Resultate erhalten, indem wir l'ür /. und M reguläre Determinanten 

 nahmen. Zu weiteren Ergebnissen gelangt man. wenn man nur eine 

 dieser Determinanten regulär wählt. 



Sei erstens /. regulär, also B=^ r _ r Da S ^ 6, ist, so ist 

 e,. = $,. — £,._,<<£' — d^d'— 1 _. Kl d' r = ö r . so ist nach I. s, . = $',. — d' r _,. 



Sei zweitens .1/ regulär, also <^ = <J r . Nun ist ^,.'_, il <£,._, mach 

 Satz [., den wir hier nichl benutzen wollen, sogar stets £,.'_, = <5 

 und folglich £ = £ P — <$,._, > ^ — ^—1'=^ — & Komml /> in allen De- 

 terminanten Grades des Systems n^.. die /. enthalten, in der 

 Potenz '>"' Nor. so ist —$', also um so mehr d' ' — ö ^ s, . [sl 

 $ = & r ,, so ist nach II. £ ,r) — S = s r . So ergeben sich die beiden 

 folgenden Sätze von Smith: 



