Frobi nii s : II i 



lölementartlieiler der I leterminanten. 



V.) 



VII. Dividirt man eine von Null verschiedene Determinante /■"'" 

 Grades .1/ eines Systems dureli den grössten gemeinsamen 

 Divisor ihrer Unterdeterminanten [r — i )'''"< rrades, so enthält 



der Quotient den Factor \> mindestens in der Potenz £,.. 

 und wenn .1/ regulär ist. genau in dieser Potenz. 

 VIII. Dividirt man den grössten gemeinsamen Divisor aller Deter- 

 minanten /•""(u , ades. die eine bestimmte vo ii Null verschiedene 

 Determinante (/' — i )"'" Grades L enthalten, durch /. . so 

 enthält di-v Zähler des reducirten Quotienten den Factor p 

 höchstens in der Potenz. £,. . und wenn /. regulär ist. genau 

 in dieser Potenz. 

 Um eine weitere Anwendung der Formel (7.) §. 1 zu machen, 

 betrachten wir zwei Systeme ganzer Grössen 



11 , . . h . < =i,2,...n) 



und das aus ihnen zusammengesetzte System 



r t< . ; = a a , />,.-+ a a2 li 2 .-\- . . . + a a „ />„ . . 



Der grösste gemeinsame Divisor aller Determinanten p ten Grades des 



Systems h Ar.) enthalte den Primtheiler p in der Potenz l (y I. Sei 



eine regidäre Determinante (r — [) ten Grades des Systems />, . und 



eine reguläre Determinante 7 ,tcn Grades des Systems r,.. Nach I. ent- 

 hält dann der grösste gemeinsame Divisor ihrer Unterdeterminanten 

 (r — 1)"" Grades den Factor p genau in der Potenz y ,• Wendet man 

 daher auf das System 



b & 



von 2r — 1 Zeilen und Spalten die Formel (7.) §. 1 an. so erhält man 



<*'— 3,._, rly,. — y,_, . 



In der Potenz. S' kommt p vor in dem grössten gemeinsamen 

 Divisor der Determinanten 



K>\ ■■■''>■'-, K 

 b x , . . . />. , lh 



Y— I ' 1 /•— 1 ' '/•— 1 r— 1 



Cfi,\ ■ ■ ■ f; u,X r _ l Cu> 



Diese Determinante ist aber eine lineare Verbindung aller Deter- 

 minanten /■'"' Grades des Systems 



