Frobenii s: Über die Elementartheiler der Determinanten. 41 



plicirt mit P'~~\ Daher enthält S a P r ~ i den Factor p mindestens in 



der Potenz 



<5 r _ r + £ r+6 + (r — i) S = T r , 



falls ihn P in der Potenz h enthält. Da nach III. 



r !+ , -r= (* r+(+I - l +i ) - ($._,- »,_ t _j > o 



ist, so kommt p in allen Gliedern der rechten Seile der Gleichung (2.) 

 mindestens in der Potenz 



r,=l 



<t 



(r-i)L 



vor, und mithin enthält PS — QR den Factor ji mindestens in 

 der Potenz £,._, + & r+l . Dies Ergebniss hat natürlich nur dann eine 

 Bedeutung, wenn ^_ I + ^, +I >2^, ist. Ist r der Rang des Systems, 

 so verschwindet, wie ich schon früher (Crelle 's Journal Bd. 82. S. 240) 

 gezeigl habe, PS — QJ\ identisch. 



In der oben beschriebenen Formel kann man den Factor P r_1 

 wegheben und erhält dann einen Deterininantensatz, der etwas verall- 

 gemeinert so lautet: 



X. Ist p ^.r ^is^n, durchläuft D alle Determinanten p ten Grades 

 des Systems 



,/ (k = 1.... r; >. = !..../■!. 



und ist D' s die zu I). complementäre Unterdeterminante 

 (n — p)"" Grades der Determinante //"'" Grades 



" . a 



(x = 1 ;•: u = r + 1 , . . . /i\ 

 1=1 S ; i' = S ■+- 1 .... nj ' 



so ist 



X r % (— I) I) D' = 



"... ".. 



Complementär heissen zwei Determinanten 



D, = |«„ s | (« = . 



und 



= ß,>-ß e ) 



. ct„ und 2, . . . . 3.3...... 3„ zwei Permu- 



:.... 11 sind, die entweder beide gerade oder 



Für die oben auftretenden D sind ct x ,...a 



irgend p der Zahlen 1 . . . . r und 3,.... 3 irgend p der Zahlen 1 , . . . s. 



Speciell ist D = 1 und T)^, die ganze Determinante //"'" Grades. 

 Sei, um diese Formel zu beweisen, S das System a 



r Zeilen und s Spalten und A das ganze System von 11 Zeilen und 



wenn u, , . . . cl . a. . , . 

 1 > j-t- 1 



tationen der Indices 1 

 beide ungerade sind. 



