\'l Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 18. Januar. 



n Spalten, Lässl man die erste Zeile und die erste Spalte weg, so 



mögen die Systeme A und S in B und 7' übergehen. Durchlaufe E 



die Determinanten :"'" Grades des Systems 7'. und sei E[ die zu 7? e 

 complementäre Unterdeterminante von |/>|. Dann ist 



d ?1) ?!)' 



*— >(- iv /),/;;= i(-iv--w) 3 + -(-!)- i> ? 



Od,, do n ■ ' do,, 



= 2 (— i)' E t _ £/_, +x(—iy e; £■;. 



Ersetzl man in der ersten Summe den Summationsbuchstaben p durch 

 p-4-i, so wird sie der /weiten entgegengesetzt gleich. So erkennt 

 man. dass 2( — iY DJ) von allen Elementen des Systems S unab- 

 hängig ist. Setzt man diese alle gleich Null, so verschwinden alle 

 D ausser 1) und das Glied D D' a wird gleich der rechten Seite der 

 zu beweisenden Gleichung. 



§• 5- 



Auch die arithmetischen Beweise, die Smith und ich selbsl 

 früher für die entwickelten Sätze gegeben haben, lassen sieh erheb- 

 lich vereinfachen. Ich will mich dabei auf den Fall beschränken, wo 

 die Elemente der betrachteten Systeme ganze rationale Zahlen sind. 



Sei A das System der //- Elemente u .,. B das der Elemente b aä 

 und C=AB das aus ihnen zusammengesetzte System der Elemente 



r , . = a at />, . -+- a ai l>. 5 + . . . + a an b„ 3 . 



und sei '/ \</ \ der grösste gemeinsame Divisor aller Determinanten 



:"" Grades von -1|''|- Sind P und Q zwei Systeme von je ir ganzen 

 Zahlen, deren Determinanten gleich dri sind, so sind die Elementar- 

 theiler e[ = d' : d' , von C gleich denen von 



D= PC=(PAQ)(Q-'B) = GH. 



Nun kann man P und Q SO wählen, dass in dem System G = PAQ 

 // j = o(«^ 6) und g tta = r = d a : '/,_, 



der a u Elementartheiler von A ist. Demnach ist p durch e , t heilbar, 

 und wenn der Bang von .1 r<in ist, e P+I = . . .:=e n =o. Sei /> eine 

 Determinante :"'" Grades des Systems D. gebildet aus den Elementen der 



Zeilen x. 3, . . . C-. Ist ot-< ß <...■< 3-, SO ist «>I, ß>2 . . . - ^f. 



Daher ist , durch e,, <. durch e und >. durch t theilbar. Da 



in dem System D die Elemente der *"'" Zeile '/„.=' ./>,.. alle durch 

 i theilbar sind, so sind in der Determinante D' die Elemente der 

 ersten Zeile durch e., die der zweiten durch i die der ;""' durch 



