Frobenius: Über die Elementartheiler der Determinanten. 4.i 



f theilbar. Dividirt man durch diese Factoren, so wird D' durch 

 e t fi 2 . . . e = d getheilt und reducirt sich auf eine Determinante c"" Grades 

 1) ; mit ganzzahligen Elementen. Da der grösste gemeinsame Divisor 

 aller D' gleich d' ist, so ist der aller D gleich d' : d . Nun sind 

 aber die Unterdeterminanten (p — i) ten Grades, die den Elementen der 

 letzten Zeile einer Determinante I) entsprechen, reducirte Deter- 

 minanten D , und folglich sämmtlich durch d' x :d , theilbar. Daher 

 ist jede der Determinanten D„, also auch ihr grösster gemeinsamer 

 Divisor d' : d durch '/'_,: <l_, theilbar, und mithin ist d! : d' , = e ' 

 durch (I : (I , = e theilbar. 



Andere arithmetische Herleitungen für den eben entwickelten 

 Satz IX, sowie auch für alle andern oben aufgestellten Theoreme hat 

 Hr. Hensel, dem ich meine algebraischen Beweise mitgetheill hatte. 

 gefunden. Seine Herleitung des Satzes IV. der die Grundlage aller 

 meiner Deductionen bildet, will ich ihrer besonderen Einfachheit 

 halber hier kurz darlegen. Sei unter Anwendung der in §. i benutzten 

 Bezeichnungen L das System der (r — i f Elemente a x> . M das der 

 r Elemente a„, P das der (r — I )r Elemente a m und Q das der /•(/• — i) 

 Elemente o mX . In dem System von (2r — I ) 2 Elementen 



l P (>„, a„ 



Q M u u/ a m 



bezeichne ich, wie in §. i, mit 7> u , die Superdeterminanten ? ,te "Grades 



der Determinante [r — i)"" Grades |Z| = ± l r _ t und mit /,. ihren grössten 

 gemeinen Divisor. Vertauscht man irgend zwei der r letzten Zeilen 

 dieses Systems und addirt man zu den Elementen einer dieser Zeilen 

 die entsprechenden einer andern oder subtrahirt sie von ihnen, so 

 erhält man durch wiederholte Anwendung solcher elementaren Trans- 

 formation ein neues System 



/. P 



Q' W. 



Die Superdeterminanten L' HV von L in diesem System sind ganz- 

 zahlige lineare Verbindungen der L w und umgekehrt, so dass /, für 

 beide Systeme denselben Werth hat. Ebenso bleibt der absolute 

 Werth ///,. der Determinante /'"Graden \M\ und der grösste gemein- 

 same Divisor m r _, ihrer Unterdeterminanten (/■ — i)"'" Grades bei dem 

 Übergänge von M zu M' ungeändert. Da aber Q aus /-Zeilen und 

 nur r — I Spalten besteht, so kann man durch die obige Umformung 

 bewirken, dass die Elemente einer Zeile von Q', /.. B. die der letzten 

 Zeile sämmtlich verschwinden. Man kann etwa, um diesen Zweck zu 

 erreichen, das System Q auf ein dreieckiges reduciren (vergl. Dirichlet, 



