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Über das Trägheitsgesetz der quadratischen 

 Formen. 



Von G. Frobenius. 



Detrachtet man zwei quadratische Formen mit reellen Coefficienten 

 als aequivalent, wenn jede durch eine reelle lineare Substitution in 

 die andere transformirt werden kann, so nmfasst jede Classe Formen, 

 die nur die Quadrate der Variahein enthalten, und in allen diesen 

 Formen findet sich die gleiche Anzahl von positiven und von negativen 

 Coefficienten. Die Differenz dieser Anzahlen nenne ich die Signatur, 

 ihre Summe den Rang der Classe und auch jeder individuellen Form 

 der Classe. Der Rang r einer quadratischen Form ist gleich dem 

 Range ihrer Determinante , also dadurch bestimmt, dass die aus dem 

 Systeme ihrer Coefficienten gebildeten Determinanten (r+i) ten Grades 

 alle verschwinden, die /•"" Grades aber nicht sämmtlich. Die Signatur s 

 der Form 



(i.) Z?. a aä X a X ß 



ist gleich der Differenz zwischen der Anzahl der Zeichenfolgen und 

 der der Zeichenwechsel in der Reihe der r -+- 1 Grössen 



(2.) A = 1, A, =a„, A 2 = a„ o 22 — a%, . . . A,. = % ± a xl . . . a„. 

 Dabei ist aber vorausgesetzt, dass keine dieser Determinanten ver- 

 schwindet. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so versucht man in 

 der Regel zunächst, ob ihr nicht vielleicht bei einer anderen Anord- 

 nung der Variabein genügt wird. Fs giebt aber Fälle, wo bei jeder 

 Anordnung einzelne jener Ausdrücke Null sind, z. B. wenn die Haupt- 

 elemente a„, ",,. . . . a nn sämmtlich verschwinden. Dann kann man die 

 Signatur berechnen, indem man durch eine Transformation zu einer 

 aequivalenten Form übergeht, und es ist leicht zu zeigen, dass es in 

 jeder Classe Formen giebt, die der obigen Bedingung genügen. 



Bequemer ist es aber in diesem Fade, die Signatur mittelst einer 

 von Hrn. Gundelfinger gefundenen Regel zu berechnen. (Hesse. Ana- 

 lytische Geometrie des Raumes. 3. Aufl. S. 460: Crelle's Journal 

 Bd. 91. S. 235). 



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