242 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 8. Mär/.. 



Man kann die Variabein stets so anordnen, dass unter den Grössen 

 (2.) nie zwei aufeinander folgende verschwinden, und dass A,. von 

 Null verschieden ist. Ist dann A = o. so haben A i _, und A i+ , ent- 

 gegengesetzte Vorzeichen, und die Signatur s ist gleich der Differenz 

 zwischen der Anzahl der Zeichenfolgen und der der ZeicheriWechsel 

 in der Reihe 12.), wobei es gleichgültig ist. ob man die verschwinden- 

 den Determinanten als positiv oder negativ betrachtet. (Für ternäre 

 Können findet sich diese Regel schon bei Gauss, Disqu. arithm. §. 271). 

 Versteht man nach Kronecker unter sign (a) den Werth + 1 oder 

 — 1 oder o, je nachdem a positiv oder aegativ oder Null ist, so ist 

 demnach 



(3.) *=V%igiM;l ; _,.l ). 



Zu diesem Resultate führt in besonders einlacher Weise der Weg, auf 

 dem ich in meiner Arbeit Über das I'rui'sehe Problem (Crelle's 

 Journal. ]>d. 82; §. 5) analoge Eigenschaften der alternirenden Systeme 

 erhallen habe. 



Aus den Vorzeichen der Grössen (2.) kann man. aber nicht nach 

 der Formel (3.). die Signatur auch dann noch berechnen, wenn an 

 einer oder mehreren Stellen zwei aufeinanderfolgende derselben ver- 

 schwinden, doch im allgemeinen nicht mehr, wenn drei auf einander 

 folgende Null sind. Fs giebt aber specielle Arten quadratischer Formen. 

 bei denen, auch wenn beliebig viele <\<v Grössen (2.) Null sind, die 

 Signatur auf diesem Wege gefunden werden kann. Dies tritt nament- 

 lich bei solchen formen ein. deren Coefficienten a„B nur von der Summe 

 der ludices -j. -+- @ abhängen, und bei solchen, deren Coefficienten bei 

 der Ehmination einer Variabein aus zwei algebraischen Gleichungen 

 nach der Methode von Bezout auftreten. Durch die Betrachtung der- 

 selben kann man die Sätze, die Kroneckeb über die STURM'schen 

 Functionen gefunden hat, indem er das ursprüngliche Sturm' sehe Ver- 

 fahren mit den Ergebnissen der Theorie der quadratischen Formen 

 verglich, ohne Benutzung desselben allein aus identischen Determi- 

 nantenrelat innen ableiten. 



§. 1. 



In dem Philophical Magazine vom Jahre.185] (S. 297) theül Syl- 

 vester ohne Beweis ein bemerkenswertib.es Theorem über Determi- 

 nanten mit . das er bezeichnet als one of the mosl prolific in results 

 of äny with which I am acquainted. Da es die Grundlage der ganzen 

 folgenden Untersuchung bildet, so will ich den Beweis, den ich dafür 

 im 86. Bande von Crelle's Journal (S. 54) gegeben habe, auf eine 



