244 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 8. März. 



Da aber % die adjungirte Form von ^' (i a i% a y,i ist, so ist ihre 



Determinante gleich A''~\ Die Determinante von \^ ist 



%±B^^...B m 



Betrachtet man aber %, ■+■ \!< als Function von x,, . . . x n , so tritt zu der 

 eben berechneten Determinante noch das Product der Substitution s- 

 determinanten A,.A,. als Factor hinzu. So ergiebt sich Sylvester's Deter- 

 minantensatz 



(8.) 



/.'. 



.B.= i,- M S 



Diese Formel ist ganz allgemein gültig, weil sie für alle Werthe der 

 Coefficienten o al dargethan ist, für die A r von Null verschieden ist. 



Wenn die Determinanten (/•+i) tc " Grades B ui sämmtlich ver- 

 schwinden, aber A,. von Null verschieden ist. so ist (p = Aj 1 ^ eine 

 bilineare Form A r on )• + >' unabhängigen Variabein £ I9 . . . £ r und vj, . . . y\,., 

 und folglich verschwinden alle Unterdeterminanten (r.-f- i) ten Grades aus 

 den Coefficienten a aß . Dieser Satz von Kronecker (Crelle's Journal. 

 Bd. 72. S. 152) ist daher in Sylvester's Determinantensatz enthalten, und 

 kann auch auf folgendem Wege daraus hergeleitet werden. Ersetzt 

 man in der Determinante (4.) das letzte Element durch o, so geht sie 

 in />'„. — A,.n„i über. Sind demnach aß...$ irgend s der Indices 

 1 , 2 , . . . n und ebenso y. A . . . r, so ist 



, . . . a ir a Iy . .\ a, 



X + {B m 



■Am, 



. (B., T — A,.a~) = A s r ~> 



. a rr a,. x . . . o rr 

 . a„ r o . . . o 



r/, : ., . . . a Sr o . . . 1 



verschwindet mithin identisch, falls s~>r ist, Ist also A r von Null 

 verschieden, und sind alle Determinanten B ai = o, so verschwinden alle 

 Determinanten ,s u " Grades des Systems <i, t .. Ist s = r, so ist identisch 



(9.} V ± (A,.a llK — BJ . . . (A,. %, — B, T ) = A'T (V ± "«, • • • «:-,) (2 ± a <* ■ ■ ■ a «) ' 



und folglich unter derselben Voraussetzung 



(10.) (2±«..-flw) (2 ±a --" ö ^) = (2 ±a «--- c ^) (X ±a »--- a -)' 



wie ich auf einem anderen Wege im 82. Bande von Crelle's Journal 

 (S. 240. 1) l>ew Lesen habe. 



Für den Fall, wo '/,.. = (/.„ und 



</) = 'S >„..r .r. 



