24C) Sitzung der physikalisch- mathematischen' Classe vom S.März, 



und (/' + 2) ten Grades 



'V ± a zI . . . (',.,.«,„«:; (a,ß=r + 1 n) 



verschwinden, so verschwinden alle Unterdeterminanten 



(/• -+- i) tcn Grades. 

 Hauptunterdeterminante nenne ich eine Unterdeterminante, 

 deren Diagonalelemente (Hauptelemente) alle der Diagonale des ge- 

 gebenen Systems angehören. Ist B eci die Determinante (4.) §. 1, so 

 ist B aß = Bß a und nach einem bekannten Satze über die adjungirten 

 Systeme oder auch nach dem Satze von Sylvester 



( 1 .) B aa B iä — B; cl = A,. V ± a „ . . . a,,.a cm o.. . 



also gleich Null, und weil B„„ = o ist. so ist auch B aß = o. Nach 

 dem Satze von Kronecker verschwinden daher in dem System a <ti 

 alle Unterdeterminanten (r+i) ten Grades. 



2. Wenn in einem symmetrischen Systeme alle Hauptunter- 

 determinanten r tc " und (r+i)'"" Grades verschwinden, so ver- 

 schwinden alle Unterdeterminanten r ten und höheren Grades. 



Ist r = i, so ist nach der Voraussetzung a aa =o und </,„//. . — fQj = o, 

 also auch a a!i = o. Ich nehme daher an, der Satz sei für einen be- 

 stimmten Werth von r bereits bewiesen und zeige, dass er dann auch 

 für den Werth r + i richtig ist. In dem betrachteten symmetrischen 

 Systeme versehwinden demnach alle Hauptunterdeterminanten (r -+- i) teD 

 und (r + 2) ten Grades. Wenn dann erstens ausserdem noch alle Haupt- 

 unterdeterminanten r ten Grades verschwinden, so sind nach den Vor- 

 aussetzungen des Inductionsschlusses alle Unterdeterminanten r tc " und 

 höheren Grades Null. Ist aber zweitens eine Hauptunterdeterminante 

 r ten Grades, z. B. A r von Null verschieden, so verschwinden nach Satz 1. 

 alle Unterdeterminanten (r+i)"" Grades und folglich auch alle von 

 höherem Grade. 



3. Ist r der Rang eines symmetrischen Systems, so giebl es 

 in demselben eine nicht verschwindende Hauptunterdetermi- 

 nante vom Grade r. 



Nach der Voraussetzung verschwinden alle Haüptunterdetermi- 

 nanten (r + i) ten Grades. Sollten also auch alle Ilauptunterdetenui- 

 nanten ■/■"'" Grades verschwinden, so würden nach 2. alle Unterdetermi- 

 nanten r* a Grades Null sein. Dann wäre aber der Rang des Systems 

 kleiner als r. 



Im 82. Bande von Crelle's Journal (S. 242) habe ich diesen Satz 

 auf einem anderen Wege hergeleitet [vergl. oben Formel (10.) §. 1 1. 

 Einen dritten Beweis giebl Hr. Gundelfinger, Crelle's Journal Bd. 91, 

 S. 229. 



